§6 Численные методы решения дифференциальных уравнений

1. О некоторых задачах приводящих к дифференциальным уравнениям Задача 1

Найти кривую, обладающую в каждой точке тем свойством, что отрезок касательной заключенный между осями координат делится в точке касания пополам.

Р ешение:

Пусть эта кривая L имеет уравнение y=f(x)

Пусть точка M(x,y)=M(x,f(x))L

tgOAB = tg(-BAX) = - tgBAX

tgBAX = y'

Множество решений этого уравнения определяется соотношением , где С0, СR – это семейство равнобочных гипербол для которых оси координат являются асимптотами.

Таким образом, мы получили уравнение, связывающее аргумент, функцию этого аргумента, производную этой функции.

Задача 2

Установлено, что скорость распада радия прямо пропорциональна наличному количеству радия. Определить закон изменения массы радия в зависимости от времени.

Решение:

Пусть m(t) масса радия в момент времени t. Тогда – скорость распада радия.

m'(t)= – km(t) (*) знак "-" потому что масса уменьшается

k>0 – коэффициент пропорциональности

m(t)=Ce^-kt – это решение уравнения (*)

Задача 3

К шарику массой m прикреплены две горизонтально расположенные пружины, другие концы которых закреплены. При смещении шарика из положения равновесия возникают колебательные движения. Найти закон колебательного движения.

Р ешение:

F= – kx(t), k>0

F= ma = mx''(t)

mx''(t)= – k x(t)

mx''(t)+ kx(t)=0

Получили уравнение связывающее функцию x(t) и её вторую производную x''(t)

Решением этого уравнения является функция x(t)=C₁ cos t + C₂ sin t, C₁, C₂  R

2. Несколько определений

Приведенные примеры показывают, что решение задач на нахождение функции по заданным свойствам, сводится к решению уравнения, связывающего искомую функцию и величины задающие её свойства. Поскольку свойства функции выражаются через её производные, то решая указанную выше задачу мы приходим к уравнению связывающему искомую функцию и её производные. Такие уравнения называются дифференциальными. Решая полученное дифференциальное уравнение находят искомую функцию.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции до некоторого порядка включительно.

Определение. Наивысший порядок производной входящей в дифференциальное уравнение называется порядком уравнения.

Какого порядка уравнения в примерах 1, 2, 3?

Определение. Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Пример 1

Покажем, что функция y=x является решением дифференциального уравнения для всех х0

y'=1  – справедливо для всех х0

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение y'=f(x). y=f(x)dx – решение этого уравнения. Если F(x) её первообразная, то y=F(x)+C. Таким образом это уравнение имеет бесконечное множество решений и их графики получаются параллельным переносом в направлении оси ординат. При этом через каждую точку M(x₀, y₀), такую что функция f непрерывна при х=х₀, проходит только одна кривая. В примере 1 функция у=Сх является решением дифференциального уравнения.

Определение. Функцию y=(x,C), где С – произвольная постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения y'=f(x,y) в области G, если а) для любого С она является решением этого уравнения, т.е. '(x, C)=f(x,(x, C)) б) для любой точки M(x₀,y₀) из области G, существует единственное значение С₀ при котором линия y=(x,C₀) проходит через точку M₀, т.е. y₀=(x₀,C₀)

Таким образом у=Сх – общее решение уравнения , для всех х0

Определение. Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной, называют частным решением этого уравнения.

Обычно при отыскании частного решения дифференциального уравнения указывается значение искомой функции у₀ в некоторой фиксированной точке х₀.

Таким образом, равенство у(х₀)=у₀ определяет так называемые начальные условия. Зная общее решение дифференциального уравнения и имея начальное условие, подставляют их в общее решение и находят соответствующее значение параметра С, выделяющее искомое частное решение из общего решения.