Практическая работа №60
Тема: Скалярное произведение векторов, угол между ними
Цель: формирование навыков вычисления скалярного произведения векторов, угла между ними
Вид работы: индивидуальный
Время выполнения: 6 часов
Теоретический материал
Скалярным
произведением
двух ненулевых векторов называется
число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними:
.
Скалярное
произведение векторов
и
выражается через их координаты по
формуле
.
Угол
между двумя
векторами
и
находится по формуле
.
Упражнения с решениями
Пример 1.
Найти длину вектора
по заданным координатам его концов
,
.
Решение: Находим
координаты вектора
:
,
а теперь найдем модуль этого вектора:
.
Пример 2. Даны
векторы
,
и
.
Определить длину вектора
.
Решение: Найдем
координаты вектора
.
Итак,
.
Пример 3. Найти
косинус угла между векторами
и
.
Решение: Из
определения скалярного произведения
следует, что
.
По координатам векторов находим:
,
;
,
поэтому
.
Пример 4.Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-;2;2), С(2;5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим
вектора
лежащие на диагоналях данного
четырёхугольника. Имеем:
Проверим, ортогональны ли эти вектора. Для этого найдём их скалярное произведение:
Отсюда следует, что вектора, лежащие на диагоналях четырёхугольника ортогональны, а значит, диагонали взаимно перпендикулярны и данный четырёхугольник является параллелограммом
Задания к практической работе
Задание 1. Вычислите скалярное произведение векторов:
Задание 2. Ортогональны ли векторы:
Задание 3. Найдите угол между векторами:
Контрольные вопросы
Дайте определение скалярного произведения двух векторов?
По какой формуле вычисляется скалярное произведение в координатах?
По какой формуле вычисляется угол между двумя векторами в координатах?
Рекомендуемая литература: 1.2, 2.2
Список литературы
1. Основная:
Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа: учебник / Ш. А. Алимов. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010 – 464 с.
Атанасян, Л. С. Геометрия 10-11 класс. Учебник / Л.С. Атанасян – М.: 2009 – 295 с.
Богомолов, Н.В. Математика: учебник для СПО / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 395с.
Дадаян А.А. Математика: учебник для СПО / А. А. Дадаян. – 2-е изд. – М.: Форум, 2008. – 554 с.
Дадаян, А. А. Сборник задач по математике: учеб. пособие для СПО / А. А. Дадаян. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2008. – 352 с. – (Профессиональное образование).
2. Дополнительная:
Никольский, С.М. Алгебра и начала анализа: учебник / С.М. Никольский – М.: 2006 – 345с.
Шарыгин, И.Ф. Геометрия 10-11 класс. Учебник / И.Ф. Шарыгин – М.: 2005 – 205 с.
Методические рекомендации
для практических занятий студентов
специальности