Контрольные вопросы

1. По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности цилиндра?

2. По какой формуле находится площадь боковой поверхности конуса (боковой поверхности усеченного конуса)?

Рекомендуемая литература: 1.2, 2.2

Практическая работа №57

Тема: Объем шара и площадь сферы

Цель: формирование навыков решения задач на нахождение объема шара и площади сферы

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретический материал

Объем шара радиуса вычисляется по формуле

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью (рис. 19).

Рисунок 19

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле

где R – радиус шара, а H – высота шарового сегмента.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. В случае когда сегмент меньше полушара, шаровой сектор получается дополнением этого сегмента конусом с тем же основанием, которое у сегмента, и вершиной в центре шара (рис. 20).

Рисунок 20

Объем шарового сектора определяется по формуле

где R – радиус шара, а H – высота соответствующего шарового сегмента.

Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Аналогично определяется площадь сферической части поверхности шарового сектора, т.е. площадь сферического сегмента, для нее получается формула

где H – высота сегмента.

Задания к практической работе

Задание 1. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которых изготовлен шар.

Задание 2. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?

Задание 3. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см?

Задание 4. Круговой сектор с углом и радиусом вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.

Задание 5. Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?

Задание 6. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.

Задание 7. Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см (рис. 21)?

Рисунок 21

Контрольные вопросы

1. Выведите формулу для объема шара.

2. Что такой шаровой сегмент? Выведите формулу для объема шарового сегмента.

3. Что такое шаровой сектор? По какой формуле вычисляется объем шарового сектора?

4. По какой формуле вычисляется площадь сферы?

Рекомендуемая литература: 1.2, 2.2

Практическая работа №58

Тема: Формула расстояния между двумя точками

Цель: формирование навыков решения задач на применение формулы нахождения расстояния между двумя точками

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часа

Теоретический материал

Рассмотрим две произвольные точки: точку М₁, с координатами (x₁, y₁, z₁) и точку M₂ с координатами (х₂, y₂, z₂) (рис. 22).

Рисунок 22

Выразим расстояние d между точками М₁ и М₂ через их координаты.

С этой целью рассмотрим вектор М₁М₂. Его координаты равны

Расстояние между точками и вычисляется по формуле

Задания к практической работе

Задание 1. Найдите длину вектора , если: а) ; б) .

Задание 2. Даны точки и . Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка .

Задание 3. Найдите расстояние от точки до: а) координатных плоскостей; б) осей координат.

Задание 4. На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки является наименьшим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки .

Задание 5. На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки является наименьшим среди всех расстояний от точек этой оси до точки .

Задание 6. Даны точки и . При каких значениях треугольник является равнобедренным?

Задание 7. Даны точки и . Докажите, что – равнобедренная трапеция.