Упражнения с решениями

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 11.

Рис. 11

Решение. По формуле (3) находим . Вычислим этот интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница (2). Одной из первообразных функции является . Поэтому (кв.ед).

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и .

Решение. Построим данную фигуру (рис. 12) и найдем абсциссы точек пересечения парабол из уравнения .

Рис. 12

Это уравнение имеет корни . Воспользуемся формулой (5). Здесь , .

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , осью и графиком функции :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной осью и параболой:

1. ;

2. ;

3. .

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой , осью и графиком функции :

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

1. Параболой , прямой и осью ;

2. Параболой , прямой и осью ;

3. Графиками функций и осью ;

4. Параболой и прямой ;

5. Параболой и прямой ;

6. Параболой и прямой ;

7. Параболой и прямой ;

8. Параболой и прямой, проходящей через точки и ;

9. Графиком функции и прямыми .

Задание 5. Фигура ограничена линиями . Найти точку графика функции , через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение криволинейной трапеции.

2. По каким формулам можно вычислить площадь криволинейных трапеций?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1

Практическая работа №41

Тема: Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний

Цель: формирование навыков решения задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 14 часов

Теоретический материал

Перестановками из элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок из элементов обозначают и читают «пэ энное». Формула числа перестановок из различных элементов:

,

.

Произведение первых натуральных чисел обозначают (читается «эн факториал»), т. е. , причём по определению . Таким образом,

(1)

Размещениями из элементов по элементов ( ) называются такие соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число всевозможных размещений из элементов по элементов обозначают и читают «А из эм по эн».

Формула для вычисления - числа размещений из элементов по элементов имеет следующий вид:

(2)

Например, .

Отметим, что правая часть формулы (2) содержит произведение последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно . Пусть в формуле (2) . Тогда

т. е. число размещений из элементов по равно числу перестановок из этих элементов:

(3)

Сочетаниями из элементов по в каждом ( ) называются соединения, каждое из которых содержит элементов, взятых из данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из различных элементов по элементов обозначают и читают «це из эм по эн».

Формула для подсчёта числа сочетаний из различных элементов по элементов в каждом имеет следующий вид:

(4)

Рассмотрим свойства сочетаний, которые в ряде случаев упрощают вычисления при решении задач.

1. .

2. Рекуррентное свойство