Контрольные вопросы

1. Дайте определение стационарных точек.

2. Дайте определение критических точек.

3. Какие точки называют точками экстремума?

4. Приведите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

5. Приведите алгоритм исследования функции с помощью производной.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.4

Практическая работа №38

Тема: Вычисление первообразной функции и неопределенного интеграла

Цель: формирование навыков нахождения первообразных и интегралов функций при помощи основных формул интегрирования

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часа

Теоретический материал

Функция называется первообразной функции на некотором промежутке, если для всех из того промежутка .

Если функция является первообразной функции на некотором промежутке, то все первообразные функции записываются в виде , где - произвольная постоянная.

Операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием.

Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных.

Таблица 2

Функция	Первообразная

Приведем следующие правила интегрирования:

Пусть и – первообразные соответственно функций и на некотором промежутке. Тогда:

1. Функция является первообразной функции ;

2. Функция является первообразной функции .

Упражнения с решениями

Пример 1. Доказать, что функция является первообразной функции .

Решение. Обозначим , тогда .

Пример 2. Для функции найти такую первообразную, график которой проходит через точку .

Решение. Все первообразные функции находятся по формуле , так как . Найдем число , такое, чтобы график функции проходил через точку . Подставляя , , получаем , откуда . Следовательно, .

Пример 3. Найти все первообразные функции .

Решение. По таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции является функция , а одной из первообразных функции является функция . По правилам интегрирования одна из первообразных данной функции . Следовательно все первообразные .

Задания к практическому занятию

Задание 1. Показать, что функция является первообразной функции на всей числовой прямой:

1. ;

2. .

Задание 2. Показать, что функция является первообразной функции при :

1. ;

2. .

Задание 3. Найти все первообразные функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 4. Для функции найти первообразную, график которой проходит через точку :

1. ;

2. .

Задание 5. Показать, что функция является первообразной функции на всей числовой прямой:

1. ;

2. .

Задание 6. Найти одну из первообразных функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

11. − ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

Задание 7. Найти все первообразные функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Задание 8. Для функции найти первообразную, график которой проходит через точку :

1. ;

2. ;

3. ;

4. .