Упражнения с решениями

Пример 1. Исследовать на монотонность функцию .

Решение. Имеем . Справедливо неравенство , причем знак равенства имеет место лишь в одной точке . Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. 1) Функция определена при всех .

2. .

3. Из уравнения находим .

4. существует при всех .

5. Отметим точки на координатной прямой.

6. . Отметим знаки производной на полученных промежутках.

7. При переходе через точку слева направо производная меняет знак с «+» на «-», значит, - точка максимума; при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, - точка минимума. В точке имеем , в точке имеем .

Пример 3. Построить график функции .

Решение. 1) Область определения – множество всех действительных чисел.

2. .

3. Решая уравнение , находим стационарные точки и .

4. Производная положительна на интервале , следовательно, на этом интервале функция возрастает. На промежутках и производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.

5. Стационарная точка является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»; . Точка – точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»; .

Составим таблицу:

Таблица 1

		-1		0
	-	0	+	0	-
	убывает	-0,5	возрастает	1	убывает

Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 6).

Рис. 6

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 2. При каких значениях функция возрастает на всей числовой прямой:

1. ;

2. ?

Задание 3. Найти стационарные точки функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 4. Найти точки экстремума функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 5. Построить график функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Задание 6. Построить график функции:

1. на отрезке ;

2. на отрезке .

Задание 7. На рисунке 7 изображен график функции , являющейся производной функции . Используя график, найти точки экстремума функции .

Рис. 7

Задание 8. Построить график функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

11. ;

12. .

Задание 9. Найти число действительных корней уравнения:

1. ;

2. .

Задание 10. Построить график функции . Сколько действительных корней имеет уравнение при различных значениях ?

Задание 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. на отрезке .

2. на отрезке .

3. на отрезке .