Контрольные вопросы

1. Что называют касательной к графику функции?

2. Что называется угловым коэффициентом прямой?

3. В чем заключается геометрический смысл производной?

4. Выведите уравнение касательной к графику дифференцируемой функции.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1

Практическая работа №35

Тема: Правила нахождения производной

Цель: формирование навыков нахождения производной функции по основным правилам дифференцирования

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 6 часов

Теоретический материал

Введем обозначения: - постоянная; - аргумент; - функции от , имеющие производные.

Основные правила дифференцирования

Производная алгебраической суммы функций:

.

Производная произведения двух функций:

.

Производная произведения трех функций:

.

Производная произведения постоянной величины на функцию:

.

Производная частного (дроби):

.

Частные случаи дроби:

; .

При вычислении производных необходимо помнить, что ; ; , и знать следующие правила действий со степенями и корнями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Здесь и - любые рациональные числа.

Запишем основные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «u».

Правила дифференцирования

1. ;

2. , в частности ;

3. , в частности ;

4. , если ;

5. , если .

Формулы дифференцирования:

1. ;

2. , в частности ;

3. , в частности ;

4. , в частности ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Упражнения с решениями

Пример 1. Найти , если

Решение: .

Пример 2. Найти производную функции , если , .

Решение: .

Пример 3. Найти производную функции .

Решение: Обозначим .

.

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найти производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

Задание 2. Построить график функции и график функции, являющейся ее производной.

Задание 3. Найти производную функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 4. Найти и , если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 5. Найти и , если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 6. Найти значения , при которых значение производной функции равно 0, если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 7. Найти производную функции:

1. ;

2. ;

3. .

Задание 8. Найти , если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 9. Пересекается ли график функции, являющийся производной функции , с графиком функции ?

Задание 10. При каких значениях значение производной функции равно 0?

Задание 11. Найти производную функции:

1. ;

2. .

Задание 12. Найти , если:

1. ;

2. .

Задание 13. При каких значениях значение производной функции равно 0?

Задание 14. При каких значениях значение производной функции равно 3?

Задание 15. При каких значениях значение производной функции равно 11?

Задание 16. При каких значениях производная функции принимает положительные значения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 17. При каких значениях производная функции принимает отрицательные значения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .