Упражнения с решениями

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде , откуда . Тогда .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Так как , то уравнение можно записать в виде , откуда .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Заменой данное уравнение сводится к квадратному уравнению . Решая это уравнение, находим его корни: , откуда . Уравнение имеет корень , а уравнение не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Пример 4. Решить графически уравнение .

Решение. В одной системе координат построим графики функций и . Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой . Проверка показывает, что - корень данного уравнения: и .

Покажем, что других корней нет. Функция убывающая, а функция – возрастающая. Следовательно, при значение первой функции меньше , а второй больше , при , наоборот, значения первой функции больше , а второй меньше . Геометрически это означает, что графики этих функций при и «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при .

Задания к практической работе

Задание 1. Решить уравнение

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. 

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание 2. Решить графически уравнение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Контрольные вопросы

1. Дайте определение показательных уравнений. Приведите примеры.

2. Перечислите основные свойства показательной функции.

3. Какие простейшие приемы решения показательных уравнений вы знаете?

Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1

Практическая работа №28

Тема: Рациональные, иррациональные, показательные системы, приемы их решения

Цель: формирование навыков решения рациональных, иррациональных, показательных систем уравнений

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часов

Теоретический материал

Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Каждая пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Решать системы уравнений можно используя следующие методы:

Метод подстановки

Суть метода заключается в следующем:

1. Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором выражено через (или через ).

2. Полученное выражение подставляют вместо (или вместо ) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3. Находят корни этого уравнения.

4. Воспользовавшись выражением через (или через ), находят соответствующие значения (или ).

Метод сложения

Поясним суть метода на примере.

Пример 1. Решить систему уравнений

(1)

Решение. Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

(2)

равносильную данной.

Сложим теперь оба уравнения полученной системы

(3)

Преобразуем ее к виду

Из уравнения находим . Подставив это значение в уравнение , находим .

Итак, (5;-1) – решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Метод введения новых переменных

Применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;

2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 2. Решить систему

Решение. Положим , тогда и первое уравнение системы примет вид . Решим полученное уравнение относительно новой переменной :

, откуда , .

Таким образом, либо , либо .

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: и . В соответствии с этим нам предстоит решить теперь совокупность двух систем:

и

Из первой системы находим , из второй .

Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и обычные приемы решения систем уравнений.

Задания к практической работе

Задание 1. Решите систему уравнений:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Задание 2. Решите систему уравнений:

1. 

2. 

3. 

4. 

Задание 3. Решите систему уравнений методом замены переменных:

1. 

2. 

3. 

Задание 4. Решите систему уравнений:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Контрольные вопросы

1. Что называется системой уравнений?

2. Что называется решением системы уравнений?

3. Перечислите методы решения систем уравнений.

4. Расскажите суть графического метода решения систем уравнений.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4

Практическая работа №29

Тема: Последовательности, способы задания и свойства числовых последовательностей

Цель: формирование навыков задания числовых последовательностей различными способами

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 6 часов

Теоретический материал

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное действительное число: числу 1 соответствует число , числу 2 - число , числу 3 – число , …, числу – число и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут: , , , …, . Иначе можно записать . Числа , , , …, , … называются членами числовой последовательности: - первый член, - второй член, ..., - п-й член последовательности.

Имеется три основных способа задания последовательности.

1. Аналитический - последовательность задается формулой п-го члена. Например, формулой задается последовательность .

2. Рекуррентный - любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие члены. При этом способе задания последовательности указывают ее первый член (или несколько начальных членов) и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

Пример. .

Имеем ;

;

; …

В итоге получаем последовательность 1,1,2,3,5,8,…

Каждый ее член, кроме первых двух, равен сумме двух предшествующих ему членов.

3. Словесный - задание последовательности описанием.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член меньше следующего за ним, т. е. если для любого п. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член больше следующего за ним, т. е. если для любого п.

Рассмотрим примеры:

1. 1, 4, 9, 16, 25, ..., , ...- возрастающая последовательность.

2. -1; -2; -3; -4; …;- , … - убывающая последовательность.

3. 3, 3, 3, 3, …, 3, … - здесь мы имеем постоянную или стационарную последовательность.

Последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом , называется арифметической прогрессией. Число - разность прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии

1. Формула -го члена арифметической прогрессии:

2. Формулы суммы, первых членов арифметической прогрессии:

Здесь .

3. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Последовательность , первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число , называется геометрической прогрессией. Число - знаменатель прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии.

1. Формула -го члена геометрической прогрессии:

2. Формулы суммы первых членов геометрической прогрессии:

Здесь ; если , то .

3. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого связан с предыдущим и последующим членами формулой