Задания к практической работе

Задание 1. Решите уравнения методом введения новой переменной:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 2. Решите уравнение, разложив левую часть на множители:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 3. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано?

Задание 4. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Задание 5. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Найти двухзначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Задание 6. Решите задачу, составив к нему уравнение.

По обе стороны улицы, длиной в 1200 м, во вновь разбиваемом поселке лежат прямоугольные полосы земли, отведенные на участки, одна – шириной в 50 м, а другая – в 60 м. на сколько участков разбит весь поселок, если более узкая полоса содержит на 5 участков больше, чем широкая, при условии, что на узкой полосе каждый участок на 1200 м² меньше, чем каждый участок на широкой полосе?

Задание 7. Решите задачу, составив к нему уравнение.

Через час после начала равномерного спуска воды в бассейне ее осталось 400 м³, а еще через три часа – 250 м³. Сколько воды было в бассейне?

Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называют рациональными? Приведите примеры.

2. Назовите основные приемы решения рациональных уравнений.

3. Дайте определение биквадратным уравнениям.

4. Назовите алгоритм решения задач с помощью уравнений.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.4, 2.1

Практическая работа №26

Тема: Иррациональные уравнения, приемы их решения

Цель: формирование навыков решения иррациональных уравнений, используя различные приемы их решения

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часа

Теоретические сведения

В уравнениях неизвестное находится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Такие уравнения называют иррациональными.

Решение иррациональных уравнений основано на следующем свойстве:

При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение-следствие данного.

При возведении уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому необходимо делать проверку.

Если обе части уравнения неотрицательны на множестве , то уравнение равносильно уравнению при .

Упражнения с решениями

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем

откуда .

Возведем последнее уравнение в квадрат: , или .

Корни этого уравнения .

Проверка показывает, что – посторонний корень.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Возведем уравнение в четвертую степень: , откуда . Решим это биквадратное уравнение,

, т.е. или .

Уравнение имеет два корня . Уравнение не имеет действительных корней. Так как при возведении обеих частей уравнения в четвертую степень могли появится посторонние корни, то нужно сделать проверку. При обе части уравнения равны 2, т.е. – корень уравнения. При левая часть уравнения равна 2, а правая равна -2, т.е. -2 не является корнем уравнения.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Возводя обе части уравнения в куб, получаем

,

откуда .

Корни этого уравнения . Проверка показывает, что оба значения неизвестного являются корнями данного уравнения.

Пример 4. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение . Найти приближенные значения этих корней.

Решение. Построим на одном рисунке графики функций и . Графики пересекаются в одной точке при .

Задания к практической работе

Задание 1. Решить уравнение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

Задание 2. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Контрольные вопросы

1. Дайте определение иррационального уравнения.

2. Какими методами можно решить иррациональные уравнения?

3. Каким методом можно решить уравнение .

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 2.1

Практическая работа №27

Тема: Показательные уравнения, приемы их решения

Цель: формирование навыков решения показательных уравнений, используя различные приемы

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4 часа

Теоретические сведения

Уравнения, в которых неизвестное содержится в показатели степени, называются показательными.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения , где , - неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств или . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.