Упражнения с решениями

Задать формулой функцию, обратную f. Построить графики данной и обратной ей функции, если функция f задана формулой , где .

Решение. Выразив х через у, имеем , , . Заменив х на у, а у на х, получим . Найдем область определения обратной функции, она совпадает с мно­жеством значений заданной функции. Этим множеством служит промежуток (рис.3). Итак, , - функция, обратная данной.

Рис. 3

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найти функцию, обратную к данной:

1. ;

2. −5x+4;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Задание 2. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 3. Функция задана графиком (рис. 4, а, б, в, г). Построить график функции, обратной к данной.

Рис. 4

Задание 4. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. ;

7. ;

8. .

Контрольные вопросы

1. Дайте определение обратной функции.

2. Как определить область определения обратной функции?

3. Как определить множество значений обратной функции?

4. Является ли монотонная функция обратимой?

5. Как можно построить график обратной функции?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3

Практическое занятие №18

Тема: Степенная функция: определения, свойства, график

Цель: формирование навыков нахождения области определения, множества значений степенной функции, построения графиков степенных функций

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Функция , где - заданное действительное число называется степенной функцией.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от показателя степени .

1. Показатель - четное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• Область определения – все действительные числа, т.е. множество ;

• Множество значений – неотрицательные числа, т.е. ;

• Функция чётная, так как ;

• Функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке ;

• Функция ограничена снизу;

• Функция принимает наименьшее значение при .

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис.5).

Рис. 5

2. Показатель - нечетное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где - натуральное число, обладает следующими свойствами:

• Область определения – все действительные числа, т.е. множество ;

• Множество значений – множество ;

• Функция нечётная, так как ;

• Функция является возрастающей на всей действительной оси;

• Функция не является ограниченой;

• Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис.6).

Рис. 6