Теоретические сведения

Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается .

, где .

.

Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается .

, где .

.

Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается .

, где .

.

Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом и обозначается .

, где .

.

Упражнения с решениями

Пример. Проверить справедливы ли равенства:

1) ;

2) ;

3) .

Решение: 1) , так как и .

2. , так как и .

3. , так как и .

Задания к практическому занятию

Задание 1. Проверьте, справедливы ли равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Задание 2. Вычислите:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Задание 3. Докажите справедливость неравенств:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 4. Вычислите:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Контрольные вопросы

1. Что называется арксинусом?

2. Что называется арккосинусом?

3. Что называется арктангенсом?

4. Что называется арккотангенсом?

5. Как вычислить арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс от отрицательного значения?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.4

Практическая работа №15

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: формирование навыков решения тригонометрических уравнений

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Простейшими тригонометрическими уравнениям называют уравнения , где - данное число.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента (дуг или углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение .

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

. (1)

Частные случаи:

; (2)

; (3)

. (4)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

. (5)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

. (6)

Частные случаи:

; (7)

; (8)

. (9)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

. (10)

Формула для корней уравнения , имеет вид:

. (11)

Частные случаи:

; (12)

; (13)

. (14)

Формула для корней уравнения , где , имеет вид:

. (15)

Упражнения с решениями

Пример 1. Решить уравнения: 1) ; 2) ; 3)

Решение. 1) , отсюда следует, что множество корней данного уравнения имеет вид .

2. Так как и , то

3. . Тогда множество корней уравнения имеет вид .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Заменяя на , получаем или .

Обозначая , получаем , откуда , .

1. - уравнение не имеет корней, так как ;

2. , .

Таким образом, .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Используя формулы , и записывая правую часть уравнения в виде , получаем , .

Поделив это уравнение на , получим равносильное уравнение . Обозначая , получим уравнение , откуда , .

1. ;

2. .