Упражнения с решениями

Пример 1. Доказать тождество

Решение. .

Пример 2. Доказать тождество

Решение. ,

.

Тождество доказано, так как его левая и правая части равны.

Пример 3. Упростить .

Решение. Будем полагать, что данное выражение имеет смысл при всех допустимых значениях .

Упростим числитель:

.

Упростим знаменатель:

.

Таким образом,

.

Пример 4. Дано: ; вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Решение. Используем тождество . Перед радикалом оставим знак «плюс», потому что синус во второй четверти положителен. Таким образом,

;

;

;

;

.

Пример 5. Дано: . Найти .

Решение. Дополним выражение до квадрата двучлена:

.

Возведем обе части равенства в квадрат. Получим , откуда . Тогда .

Следовательно, .

Пример 6. Упростить выражение

Решение.

Здесь мы использовали соотношение .

Здесь мы использовали соотношение .

Здесь мы использовали соотношение и свойство степени с четным показателем.

Теперь данное выражение можно записать в виде

Задания к практическому занятию

Задание 1. Доказать тождество:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 2. Упростите:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если .

Задание 3. Вычислите:

1. ;

2. ;

3. , если ;

Задание 4. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение:

1. ;

2. .

Задание 5. Дано: . Найдите:

1. ;

2. ;

3. .

Задание 6. Замените тригонометрической функцией угла :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

Контрольные вопросы

1. Что называют тождеством?

2. Какие способы доказательств тождеств существуют?

3. Назовите все тригонометрические тождества, которые вы знаете.

4. Что называют формулами приведения?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1

Практическая работа №12

Тема: Тригонометрические формулы

Цель: формирование навыков использования основных тригонометрических формул при преобразовании тригонометрических выражений

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 4часа

Теоретические сведения

Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

(1)

(2)

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

(3)

(4)

Формулы тангенса суммы и разности двух аргументов:

(5)

(6)

Формулы котангенса суммы и разности двух аргументов

(7)

(8)

Из формул синуса и косинуса суммы получаются формулы синуса и косинуса двойного угла. Если в соотношениях (1) и (3) положить , то получим:

(9)

(10)

Выразив правую часть формулы (10) через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотноше­ниям

, (11)

Из формул (11) можно выразить и a через :

, (12)

Полагая в формуле тангенса суммы , получаем форму­лу тангенса двойного угла:

(13)

Кроме перечисленных выше формул (9) - (13), полезно знать и формулы

, ,

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Полезно также знать формулу для преобразования в произведение выражения (a и b – любые действительные числа, не равные нулю). Эта формула имеет вид:

(28)

где , аргумент определяется из условий , .

; (29)

(30)

(31)

С помощью формул (30) и (31) можно вычислять значения синуса и косинуса половинного аргумента — по заданному зна­чению косинуса аргумента х.

Разделив почленно равенство (30) на равенство (31), полу­чим формулу

(32)

В формулах (30), (31) и (32) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол .

, (33)

(34)

(35)

, при (36)

, при (37)