Упражнения с решениями

Пример 1. Определить знак произведения .

Решение. , так как угол является углом первой четверти, а синус в первой четверти положителен.

, так как угол является углом третьей четверти, а косинус в этой четверти отрицателен.

, так как угол является углом первой четверти, а косинус в этой четверти положителен.

, так как угол является углом четвертой четверти, а синус в этой четверти отрицателен.

, так как угол является углом четвертой четверти, а косинус в этой четверти положителен.

, так как угол, величина которого 2 радиана, является углом второй четверти, а синус в этой четверти положителен.

Следовательно, произведение положительно.

Пример 2. Сравнить значения выражений:

; ; ; ; .

Решение. ; ; ; ; .

Таким образом, .

Пример 3. Доказать тождество

Доказательство. В левой части тождества произведем указанные действия и приведем подобные члены, получим:

.

Левую часть равенства преобразуем так:

Следовательно, . Тождество доказано.

Задания к практическому занятию

Задание 1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ,36.

Задание 3. Определите знак произведения.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 4. Упростите выражение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 5. Вычислите значение , если:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Задание 6. Докажите тождество:

1. ;

2. ;

3. .

Задание 7. Найдите значение выражения:

1. , при ;

2. , при ;

3. .

Контрольные вопросы

1. Назовите единицы измерения величины угла.

2. Что принимается за ; за 1 радиан?

3. Что называется синусом угла ?

4. Что называется косинусом угла ?

5. Дайте определения тангенса и котангенса числа ?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1

Практическая работа №11

Тема: Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения

Цель: формирование навыков использования формул приведения при доказательстве тригонометрических тождеств

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв (т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Существуют следующие способы доказательства тождеств: преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю. Иногда удобно доказательство тождества провести преобразованием его левой и правой частей к одному и тому же выражению.

1. . (1)

2. . (2)

3. . (3)

4. . (4)

5. . (5)

6. . (6)

7. . (7)

8. Из формул (4) и (5) следует, что

(8)

9. Из формулы (8) следует, что

(9)

(10)

10. Разделив обе части равенства (1) на , получим:

(11)

11. Разделив обе части равенства (1) на , получим:

(12)

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения .

Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Таблица 3

Функция	Аргумент

Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:

1. при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;

при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют;

2. считая острым углом (т.е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функция углов , , .

Исходя из известных значений тригонометрических функций некоторых углов, соответствия между градусной и радианной мерой величины угла и формул приведения, можно составить таблицу значений тригонометрических функций для наиболее часто встречающихся значений аргумента:

Таблица 4

Функция

Аргумент

Не сущ.

Не сущ.

Не сущ.

Не сущ.