2.3.8 Розрахунок множинних коефіцієнтів кореляції. З’ясуємо наявність багатовимірних лінійних залежностей між перемінними. Розрахункова формула:

, (2.5)

де det( R ) – визначник кореляційної матриці,

R_ii – алгебраїчне доповнення елементу (і,і) кореляційної матриці.

Слід самостійно скласти і записати програму розрахунків коефіцієнту множинної кореляції і навести її у звіті про роботу.

Для згаданого прикладу значення коефіцієнтів множинної кореляції по кожної з перемінних наведені у таблиці 2.4.

Значні величини коефициєнтів множинної кореляції (коефіцієнтів детермінації) по більшості з перемінних свідчать про наявність сильного лінійного багатопараметрового зв’язку між переміними, тобто, що на основі наведених даних можна створити лінійну модель.

Таблиця 2.4

i	Rii	Det R	i
1	0,00022272	3,74296E-05	0,83194
2	4,3856E-05	3,74296E-05	0,14653
3	0,003889	3,74296E-05	0,99038
4	0,00056616	3,74296E-05	0,93389
5	0,0009974	3,74296E-05	0,96247
6	0,00261237	3,74296E-05	0,98567
7	0,00011958	3,74296E-05	0,68699
8	0,00018116	3,74296E-05	0,79339
9	4,9015E-05	3,74296E-05	0,23636

2.4 Вибір варіанту

2.4.1 Вхідні дані одержуються за допомогою програми-генератору даних за допомогою викладача і копіюються у власну робочу книгу.

2.4.2 При виконанні роботи та її оформленні дотримуватися порядку розрахунків та вимог розділу 2.3

2.5 Контрольні запитання

1 Що таке “кореляційний зв’язок”, що він відображає?

2 Яка величина характеризує наявність кореляційного зв’язку між двома перемінними? Наведіть формулу для розрахунку цей величини.

3 У яких межах змінюється коєфіціент парної кореляції? Як можна його розрахувати у середовищі Excel?

4 Наведіть кількісні градації коефіцієнту кореляції, їх зміст

5 Наведіть зміст поняття “множинна кореляція”. Якими величинами вона характеризується кількісно?

6 Зміст поняття “частинний коефіцієнт кореляції”, його розрахунки.

7 Зміст поняття “множинний коефіцієнт кореляції”, його розрахунки.

8 Зміст поняття “значимість коефіцієнта кореляції”.

9 Як перевірити значимість коефіцієнту кореліцїї

10 Зміст поняття “кореляційна матриця”, її властивості.

11 Як побудувати кореляційну матрицю у середовищі Excel?

12 Принципи побудови програми для розрахунку коефіцієнтів множинної кореляції та часткових коефіцієнтів кореляції.

Лабораторна робота 3. Проста лінійна регресія

3.1 Мета роботи: побудувати за експериментальними даними регресій ні моделі лінійного типу або ті, що зводяться до лінійних і провести їх дослідження.

3.2 Постановка задачі

3.2.1 Для створення системи управління процесом випаровування розчину неорганічної речовини необхідно мати рівняння, що пов’язує розчинність цей речовини (г/100 г води) з температурою. Задано експериментальну залежність розчинності від температури в діапазоні 0- 100^оС. Слід підібрати і проаналізувати модель процесу.

3.2.2 Вам доручено побудувати за експериментальними даними математичну модель, яка б описувала залежність вихідної перемінної Y від вхідної перемінної Х у вигляді лінеаризуємої моделі наступного вигляду:

• квадратична;

• експоненційна,

• показникові,

• дрібно-лінійна.

Слід обрати найкращу модель за величиною коефіцієнту детермінації.

3.3 Теоретична частина

3.3.1 Теоретичні основи регресійного аналізу викладено у розділі 4 лекційного курсу.

3.3.2 При оформленні роботи у звіті слід стисло навести визначення основних понять і базові формули для розрахунків.

3.3.3 Студент повинен знати відповіді на контрольні запитання, що наведені у підрозділі 3.5

3.4 Порядок виконання роботи

3.4.1 Порядок виконання роботи і оформлення наведені нижче.

3.4.2 Перша частина роботи – побудувати та дослідити модель розчинності нитрату барію. Дані наведено у таблиці 3.1

Таблиця 3.1 – Залежність розчинності нітрату барію (Х, г/100 г) від температури (t,^oC)

t	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
X	5	7	9,2	11,6	14,2	17,1	20,3	23,6	27	30,6	34,2

3.4.2 Перший крок – побудова точкового графіку залежності Х від t (рис. 3.1)

Рисунок 3.1

З рисунку 3.1 випливає, що дані групуються навколо деякої прямої, тому, у першому наближенні, можна описати дані прямолінійною залежністю.

3.4.2 Побудова рівняння лінійної регресії.

а) За допомогою функцій ОТРЕЗОК() і НАКЛОН() знаходимо коефіцієнти А₀, А₁ рівняння регресії:

= А₀ + А₁t. (3.1)

б) Розраховуємо за рівнянням (3.1) значення _і у кожній точці.

в) Розраховуємо у кожній точці квадрати різностей:

_і² = (X_i - _і )² (3.2)

г) Знаходимо залишкову суму квадратів відхилень і остаточну дисперсію.

д) Розраховуємо для вибірки Х вибіркове середнє та вибіркову дисперсію. На основі вибіркової дисперсії розраховуємо загальну суму квадратів відхилень.

3.4.3 Оцінка значимості рівняння регресії:

а) Розраховуємо суму квадратів відхилень, що обумовлена регресією оскільки ця дисперсія має кількість ступенів воли 1, ця величина співпадає з дисперсією відносно регресії.

б) Розраховуємо відношення Фішера (відношення дисперсії відносно регресії до залишкової дисперсії)

в) За допомогою функції Fраспобр() розраховуємо критичну точку розподілу Фішера для рівня значимості =0,05 і кількості ступенів волі k₁=1 і k₂=11 – 2 = 9.

г) Оскільки критичне значення набагато менше за розрахункове, робимо висновок, що регресія є значимою.

3.4.4 Приклад розрахунків наведено на скриншоті (рис. 3.2). Формули комірок:

G4: =ОТРЕЗОК(C6:C16;B6:B16);

H4: =НАКЛОН(C6:C16;B6:B16);

I4: =СРЗНАЧ(C6:C16);

J4: =ДИСП(C6:C16);

K4: =J4*(A16-1);

L4: =1-E17/K4;

Рисунок 3.2

D6:D16 =$G$4+$H$4*B6;

E6:E16 =(C6-D6)^2;

E17: =СУММ(E6:E16);

E18: =E17/(A16-2);

G18: =E18^0,5

G7: =K4;

H7: =E17;

I7: =G7-H7;

J7: =I7/E18;

G9: =FРАСПОБР(I9;G9;H9).

В інші комірки дані заносяться вручну.

3.4.5 Встановлення значимості коефіцієнтів регресії:

а) Розраховуємо головний визначник системи рівнянь методу найменших квадратів за формулою:

D = det(t^Tt), (3.3)

де t – матриця –стовпець вхідних даних, у якому:

1) усі елементи першого стовпця дорівнюють 1,

2) елементи другого стовпця дорівнюють поточним значенням температури t_i.

б) Розраховуємо визначники мінорів D_i, що одержуються шляхом вилучення з матриці головного визначнику (3.3) і-го рядку та і-го стовпця. Значення і=1 відповідає коефіцієнту А₀, і=2 – коефіцієнту А_1.

в) Розраховуємо стандартні відхилення коефіцієнтів за формулами:

, (3.5)

, (3.6)

де s_зал – залишкове середньоквадратичне відхилення.

г) Для кожного з коефіцієнтів розраховуємо t-відношення:

. (3.7)

д) За допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР() розраховуємо t_cr - критичне значення критерію Стьюдента за рівнем значимості 0,05 та кількістю ступенів волі k=n-2.

e) Порівняємо значення t_i з t_cr:

1) Якщо t_i > t_cr – коефіцієнт значимо відрізняється від нуля.

2) Якщо t_i < t_cr – коефіцієнт не значимо відрізняється від нуля (коефіцієнт не значимий).

3.4.6 Приклад розрахунків наведено на скріншоті (рис. 3.3). У цьому прикладі формули комірок:

E3:F4 ={МУМНОЖ(ТРАНСП(B4:C14);B4:C14)} (масив);

H3: =МОПРЕД(E3:F4);

E6: =F4;

Рисунок 3.3

Е11: =H6*(E6/H3)^0,5;

F11: =H6*(E7/H3)^0,5;

E12: =E10/E11;

F12: =F10/F11;

G12: =СТЬЮДРАСПОБР(G12;H12).

В інші комірки значення уводяться вручну або шляхом копіювання з інших робочих аркушів.

3.4.5 Висновоки:

а) Усі коефіцієнти регресії є значимими.

б) Оскільки рівняння регресії є значимим, це означає, що рівняння лінійної регресії задовільно описує дані і може бути використано за призначенням для вирішення практичних завдань (створення керування технічною системою)

3.4.6 Друга частина – підбір лінійної залежності за наступними даними:

Х	0	1	2	3	6	12	18	42	165
Y	0	35	48	55	67	75	80	88	96

а) Будуємо графік залежності (рис. 3.4)

Рисунок 3.4

З рисунку випливає, що залежність є суто нелінійною. Крім того, крива повинна проходити через початок координат. Виходячи з цього, проаналізуємо деякі стандартні криві як потенційні для апроксимації даних:

1) Поліном – потенційно поліном без вільного члену можна використовувати.

2) Експоненціальна залежність: Y = Ae^BX є принципово непридатною, оскільки вона не проходить через початок координат.

3) Степенева залежність Y = AX^B є принципово придатною

4) Дробова функція також проходить через початок координат, тому вона є потенційно придатною

3.4.7 Поліноміальна апроксимація: за допомогою Майстра діаграм будуємо методом найменших квадратів поліноміальний тренд для ступеню n = 2 та 3. Порядок побудови тренду:

а) Викликаємо Майстра діаграм, будуємо точкову діаграму.

б) Наводимо курсор на одну з точок рисунку і натискуємо ліву кнопку миша. У меню, но зявилося, обираємо опцію “Добавить линию тренда”.

в) У меню тренда обираємо поліномаільну апроксимацію, встановлюємо степінь поліному (2 та 3) і натискуємо на кнопку “Параметри”.

г) У меню “Параметри” (рис. 3.5) встановити:

Рисунок 3.5 – Меню параметрів лінії тренда

- пересічення з віссю Y у точці 0;

- показувати рівняння на діаграмі;

- показати на діаграмі достовірність апроксимації R^2 (коефіцієнт детермінації)

На рис. 3.6 наведено графік найкращого полінома 3-го ступеню. Як випливає з рис. 3.6, поліном погано описує залежність. Описання є якісно невірним, оскільки апроксимуюча крива має екстремуми, у той час, як цього явно не випливає з експериментальної залежності.

Рисунок 3.6 – Поліноміальна апроксимація (поліном 3-го ступеня)

3.4.8 Степенева залежність Y = AX^B є стандартною у Майстрі діаграм, тому немає необхідності проводити перетворення координат. Однак слід вилучити точку (0,0), бо розрахунки проводяться через логарифми.

а) Будуємо точковий графік, обираємо лінію тренда

б) У меню лінії тренда обираємо степеневу функцію, у меню параметрів встановлюємо опції:

- показувати рівняння на діаграмі;

- показати на діаграмі достовірність апроксимації R^2

Одержуємо графік (рисунок 3.7)

З рисунку (3.7) випливає, що графік якісно вірно передає хід експериментальної кривої, однак розбіжності між експериментальними точками та кривою достатньо великі. Наприкінці кривої немає тенденції до насичення.

Рисунок 3.7 – Степенева апроксимація

3.4.9 Дробно-лінійна апроксимація. Приведемо функцію до лінійного виду. Для цього:

а) Проведемо обернення обох частин виразу:

. (3.8)

б) Якщо позначити: z=1/Y, u =1/X; C₁= 1/A; C₀ = B/A, то рівняння (3.8) можна переписати у виді:

z = C₁u + C₀, (3.9)

Рівняння (3.9) є лінійним. Тобто, якщо виконується дрібно-лінійна залежність між перемінними, слід очікувати наявності лінійної залежності у координатах 1/Y від 1/Х.

Розрахунки наведено на скриншоті (рис. 3.8).

3.4.10 З рис. 3.4.9 випливає, що:

а) Залежність між 1/Y та 1/X, дійсно, є лінійною, з коефіцієнтом кореляції, близьким до 1.

б) Параметри регресії: С₀ = 0,0115; С₁ = 0,0177. Звідсі для дрібно-лінійної функції:

А -= 1/С₁ = 1/0,0177 = 56,5; В = С₀А = 56,50,0115 = 0,65

Рисунок 3.8

Звідси рівняння дрібно-лінійної функції:

. (3.10)

3.5 Вибір варіантів

3.5.1 Варіанти завдання генеруються за допомогою програми генератору у присутності викладача і копіюються у власну робочу книгу

3.5.2 Розрахунки і оформлення роботи проводити за прикладом розділу 3.4, на робочому аркуші Еxcel або у середовищі Word, з доданням файлів Еxcel з розрахунковим проектом.

3.5.3 Наприкінці роботи повинні бути висновки з роботи.

3.6 Контрольні запитання

1 Який метод покладено до основи регресійного аналізу? Запишіть загальне рівняння.

2 Запишіть матричну форму методу найменших квадратів.

3 Наведить формули для розрахунків коефіцієнтив простій линийної регресії

4 Яким чином можна розраховувати коефіцієнти регресії в середовищі Excel? Наведіть 3 методу і надайте їь характеристику.

5 Для чого слід проводити дослідження рівняння регресії? Перелічите етапи дослідження.

6 Яка теорема лежить у основі дослідження значимості рівняння регресії?

7 Зміст поняття “значимість рівняння регресії”. Як його проводять?

8 Порядок проведення перевірки на значимість у Excel

9 Зміст поняття “значимість коефіцієнту”. Що слід робити, якщо коефіцієнт не є значимим?

10 За яким критеріїм встановлюють значимість коефіцієнтів. Порядок встановлення значимості у середовищі Excel.

11 Зміст поняття “адекватність моделі”. Принципи встановлення адекватності