Бесконечно большие функции

Если каждую последовательность функция перерабатывает в последовательность , , то функция называется бесконечно большой функцией в точке , и в этом случае пишут , .

Так же вводится определение бесконечно большой функции в точке справа или слева:

, , , .

Бесконечно большие функции и имеют одинаковый порядок роста в точке , если предел . Если же этот предел равен бесконечности, то функция имеет более высокий порядок роста.

Замечание. Функция обратная бесконечно большой является бесконечно малой функцией и наоборот.

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность . Теперь, используя теорему 2.19, имеем:

. ▲

§ 3.7. Предел функции многих переменных Понятие функции многих переменных

Функцией , определенной на множестве , называется правило, которое позволяет для каждой точки из множества построить единственное число , обозначаемое символом или . Если , то называется значением функции на точке . Множество называют областью определения функции, которую обозначают символом , а называют независимыми переменными. Множество всех значений функции на точках множества называется множеством значений функции . Оно обозначается символом .

Функцию называют также отображением множества на множество и пишут .

Основным способом задания функции является ее задание при помощи одной или нескольких формул. В последнем случае область определения функции разбивается на части и в каждом части функция задается одной формулой.

Функцию двух переменных обозначают символом . Ее можно изобразить в трехмерном пространстве в виде поверхности, состоящей из точек . Эта поверхность называтся графиком функции . На рис.3.2 показаны графики функций (слева) и .

Рис. 3.2.

Примеры

2. Функция называется линейной функцией, числа фиксированы.

3. Функция

называется квадратичной функцией.

4. ●

Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .

Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .

Задачи

1. Найти значение функции из примера 4 в точках:

, , .

Сложная функция нескольких переменных

Для функций многих переменных также можно определить понятие сложной функции. Пусть функция определена на множестве . Кроме того, даны функций (ровно столько, сколько аргументов у функции ) , ,…, , , , определенных на множестве . Числа и никак не связаны. Теперь, если выполняется импликация

,

то на множестве определена сложная функция .

Примеры

5. Даны функции и

, , .

В какой области определена сложная функция ?

Решение. Найдем формулу, которой задается сложная функция:

.

Следовательно, все точки области определения функций должны быть решениями неравенства , т.е. множество может совпадать с множеством решений неравенства или быть частью этого множества.

6. Найти вид сложной функции , если

.

Решение. Функция определена при любых значениях переменных . Поэтому . ●

Задачи

2. Найти вид сложной функции , если

, .

В какой части плоскости определена функция ?