§ 3.6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Функцию
называют бесконечно малой в точке
,
если
.
Бесконечно малые функции наследуют некоторые свойства бесконечно малых последовательностей.
Свойства бесконечно малых функций
1. Если
—
бесконечно малая функция, а функция
является ограниченной, то
является бесконечно малой функцией.
2.
,
где
—
бесконечно малая функция в точке
.
Доказательство.
1. Возьмем
произвольную
последовательность
,
сходящуюся к точке
.
Так как
является ограниченной функцией, то
— ограниченная последовательность.
Из 1-го свойства бесконечно малых
последовательностей следует цепочка
равносильных утверждений:
—
бесконечно
малая функция
—
бесконечно малая функция в точке
.
2.
,
где
—
бесконечно
малая
.
■
Бесконечно малые
функции
и
называются эвивалентными
в точке
,
если
.
В этом случае пишут
.
Если же предел
,
то этот факт обозначают символом
и называют
бесконечно малой функцией более высокого
порядка (малости), чем
.
Теорема 3.7. Если и — бесконечно малые функции в точке , то справедливы следующие утверждения:
1.
;
2. ;
3.
а)
;
б)
.
4.
для любой последовательности
.
Доказательство.
1.
,
,
так как
.
2.
1:
.
3. а)
;
б)
.
4. Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к точке .
.
■
Замечание. 1. Из третьего утверждения теоремы следует, что при вычислении предела функции (последовательности), бесконечно малую функцию (последовательность), которая является сомножителем числителя или знаменателя, можно заменить эквивалентной бесконечно малой функцией (последовательностью).
2. Если в числителе или в знаменателе стоит сумма бесконечно малых функций, то при вычислении предела замена отдельных слагаемых эквивалетными функциями, как правило, приводит к неверному результату. ▲
Теорема 3.8. Если — бесконечно малая функция в точке , то следующие пары бесконечно малых функций эквивалентны в точке :
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
.
Доказательство.
Введем обозначение:
Тогда
.
1. Используя формулу первого замечательного предела, имеем
.
2. Используя первый замечательный предел и утверждение теоремы 3.6, получим:
.
3.
.
4.
.
5.
6. Положим
.
Тогда
,
т.е. последовательность
бесконечно малая. Так как
,
то, используя формулу 5,
имеем:
.
7. Формула
7
является частным случаем формулы 6,
если
.
8. Заметим,
что последовательность
является
бесконечно малой. Поэтому из формулы 7
следует, что
.
Теперь, применяя формулу 4,
имеем:
.
9. Так
как
,
то функция
является бесконечно малой. Полагаем
,
тогда
.
Теперь, используя формулу 2,
имеем цепочку
равенств:
.
10. Так
как
,
то функция
является бесконечно малой. Полагаем
,
тогда
.
Теперь, используя формулу 1,
имеем цепочку равенств:
.
■
Замечание. Точка , в которой определяются эквивалентные бесконечно малые функции, может совпадать с одной из бесконечно удаленных точек.
Примеры
Найти пределы:
1. а)
;
б)
;
в)
.
Решение
а) Так как при
функции
и
являются бесконечно малыми, то эквивалентны
функции
и
,
и
.
Следовательно,
;
б) Сначала
заметим, что
и
.
Отсюда
.
Кроме того,
.
Теперь имеем цепочку равенств:
;
в) Так как при
функция
является бесконечно малой, то имеем,
что
.
Отсюда вытекает, что
.
●
Задачи
Вычислить пределы:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5
.
6.
;
7.
.
8.
.
9
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.