§ 3.4. Пределы простейших элементарных функций
Следующие функции:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
будем называть простейшими
элементарными функциями.
Теорема 3.6.
Если
— простейшая элементарная функция и
,
то
.
Доказательство теоремы заключается в проверке выполнения для простейших элементарных функций условий теоремы 5 или следствия из этой теоремы.
Функция . Область определения этой функции является объединением отрезков
,
Отсюда следует,
что если точка
,
то
принадлежит одному из
отрезков
.
На этом отрезке
является строго монотонной
функцией, и уравнение
имеет решение при любом
,
.
Функция . Область определения этой функции является объединением отрезков
,
Отсюда следует,
что если
,
то
принадлежит одному из отрезков
.
На этом отрезке
является строго монотонной функцией,
и уравнение
имеет решение при любом
,
.
Функция . Область определения этой функции является объединением интервалов
,
Отсюда следует,
что если
,
то
принадлежит одному из интервалов
.
На этом интервале
является возрастающей функцией, и
уравнение
имеет решение при любом
.
Функция . Область определения этой функции является объединением интервалов
,
Отсюда следует,
что если
,
то
принадлежит одному из интервалов
.
На этом интервале
является убывающей функцией, и уравнение
имеет решение при любом
.
Функция
.
В области
определения функция
является строго монотонной функцией,
и уравнение
имеет решение при любом
.
Функция
.
В области определения функция
является строго монотонной функцией,
и уравнение
имеет решение при любом
.
Функции
.
В области
определения функция
является возрастающей (убывающей)
функцией, и уравнение
имеет решение при
любом
.
Функции
.
В области
определения функция
является возрастающей (убывающей)
функцией, и уравнение
имеет решение при любом . ■
Замечание. Теорема 3.6 позволяет вычислять пределы элементарных функций, не обращаясь к определению предела функции.
Примеры. Найти пределы:
1.
.
2.
.
Решение
1.
.
2.
.
Задачи
Найти пределы:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
§ 3.5. Два замечательных предела
Лемма. Если
,
то справедливо неравенство:
.
Доказательство.
Так как
и
— четные
функции, то это утверждение достаточно
доказать только для значений
.
Рассмотрим
тригонометрический круг радиуса 1(рис.
3.1),
Рис.3.1.
где
,
,
,
длины дуг
и
равны соответственно
и
.
Площади сектора
,
треугольника
и сектора
связаны двойным неравенством
.
Площади этих фигур равны соответственно
,
и
.
Следовательно,
.
1.
Первый замечательный предел:
.
Доказательство.
Пусть
произвольная
последовательность и
,
если
.
Из леммы следует неравенство
,
если
.
(1)
Используя утверждение теоремы 3.6, имеем:
.
Отсюда получаем,
что предел последовательностей в левой
и правой частях неравенства (1) равен 1,
поэтому
(теорема 2.11). ■
Теперь перейдем к доказательству второго замечательного предела. Начнем с доказательства леммы.
Лемма.
Если
и
,
то
,
(2)
где
целая
часть числа
,
и
,
Доказательство.
Так как
,
то
.
Теперь имеем:
.
(3)
Из
первого и последнего неравенств (3)
следует:
.
Так как последовательность
и
,
то
.
Следовательно, последовательности
и
являются подпоследовательностями
последовательности
,
поэтому справедливы равенства
,
.
Используя эти пределы, получим далее:
,
.
■
2. Второй
замечательный предел:
.
Доказательство.
Сначала
докажем, что
.
Возьмем произвольную последовательность
,
при любом
.
Из леммы следует, что крайние члены в
неравенстве (2) сходятся к числу
.
Из теоремы о трех последовательностях
вытекает, что
.
Отсюда следует, что
.
Теперь докажем,
что
.
Возьмем произвольную последовательность
,
при любом
.
Введем обозначение:
.
Отсюда
,
а
.
Так как
,
то, начиная с некоторого номера
,
.
Отсюда и из соотношений:
,
,
следует, что
и
.
Следовательно,
.
Используя полученные формулы, имеем:
.
Отсюда вытекает, что .
Итак,
.
Следовательно,
.
■
Следствие.
.
Доказательство.
Возьмем
произвольную бесконечно большую
последовательность
.
Полагая
,
получим
.
Теперь из
определения предела функции и
формулы
второго замечательного предела следует:
.
●
Примеры
Вычислить пределы:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Решение
1 Введем обозначение:
.
Так как
,
то, используя первый замечательный
предел, получим цепочку равенств:
.
2.
.
3. Положим
.
Так как
,
то, используя теорему 3.6 и второй
замечательный предел, получим цепочку
равенств:
.
4. Выделим целую
часть выражения
,
и введем обозначение:
.
Так как
,
то, используя теорему 3.6 и второй
замечательный предел, получим цепочку
равенств:
●
Задачи
Найти пределы:
1. а)
;
б);
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
2. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
3. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.