§ 3.3. Предел монотонной функции

Теорема 3.3. Пусть функция неубывает на интервале . Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если функция ограничена сверху на множестве , то , где на множестве ;

б) если функция ограничена снизу на множестве , то , где на множестве .

Доказательство. Рассмотрим произвольную последовательность , . Для доказательства теоремы надо установить, что .

Рассмотрим произвольное число . Так как , то найдется та­кое , что . Из условий и следует, что найдется такое число , что из условия следует . Функция неубывает и , поэтому . Итак, если , то

.

Отсюда следует, что при всех справедливо неравенство , т.е. .

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. ■

Теорема 3.4. Для невозрастающей функции на интервале справедливы утверждения:

а) если функция ограничена снизу на множестве , то , где на множестве ;

б) если функция ограничена сверху на множестве , то , где на множестве .

Доказательство теоремы 3.3 аналогично доказательству теоремы 3.2. ■

Замечание. Теоремы 3.3 и 3.4 остаются справедливыми, а их доказательства не изменяются, если интервал заменить одним из промежутков: , , .

Примеры. Найти пределы:

1. и . 2. и .

Решение.

1. Функция монотонно возрастает на промежутке , и на этом промежутке , . Из теоремы 3.3 следует, что

, .

2. Функция убывает на промежутке , и на этом промежутке , а . Из теоремы 3.4 следует, что

, . ●

Теорема 3.5. Если функция возрастает на отрезке и отрезок , то , если .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что существует возрастающая функция , определенная на отрезке .

Сначала рассмотрим случай когда . Возьмем произвольную последовательность и . Так как , то имеется окрестность . Рассмотрим произвольное , , и докажем, что неравенство справедливо при всех .

Имеем следующую цепочку равносильных неравенств:

. Так как , то . Теперь из следствия

к теореме 2.5 вытекает, что неравенство справедливо при всех . Из условия следует . Отсюда и из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех справедливо неравенство . Полагаем . Тогда при всех справедливо неравенство . Поэтому равносильное ему неравенство также справедливо при всех . Этим установлено, что .

Теперь докажем, что если , , то . Возьмем произвольное , , и рассмотрим следующую цепочку равносильных неравенств:

.

Из условия следует . Отсюда и из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех справедливо неравенство . Поэтому неравенство также справедливо при всех . Этим установлено, что . ■

Следствие. Если функция убывает на отрезке и отрезок , то , если .

Доказательство. Так как функция возрастает на отрезке и отрезок , то

.■

Замечание. Чтобы доказать включение достаточно установить, что уравнение имеет решение при любом .