Односторонние пределы
Если ограничиться в определении предела функции в точке только последовательностями, элементы которых больше (меньше) , то придем к определению односторонних пределов функции в точке .
Число
называется правым (левым) пределом
функции
в точке
,
если произвольную последовательность
,
,
функция
перерабатывает
в
последовательность
.
Правый (левый)
предел функции
в точке
будем обозначать символом
.
Если правый и левый пределы функции в точке не равны, то функция не имеет предела в этой точке, так как две последовательности, сходящиеся к точке , перерабатываются функцией в последовательности, сходящиеся к разным пределам. Если же правый и левый пределы функции в точке равны, то из нижеследующей теоремы следует, что функция имеет предела в этой точке.
Теорема 3.1. Равносильны следующие условия.
1. Функция имеет предел справа и слева в точке и
.
2. Функция имеет предел в точке и .
Доказательство
1
2.
Докажем, что
функция
перерабатывает произвольную
последовательность
в последовательность
.
Последовательность
является объединением своих
подпоследовательностей
и
:
подпоследовательность
состоит из тех членов последовательности
,
которые больше (меньше) числа
.
Тогда
и
.
Из условия 1 следует:
,
.
Так как последовательность
является объединением подпоследовательностей
и
,
которые сходятся к одному и тому же
пределу
,
то
,
поэтому
.
2. Возьмем
произвольные
последовательности
,
,
и
,
.
Так как
,
то
и
.
Отсюда вытекает, что
.
■
Примеры. Найти односторонние пределы в точке :
3.
,
.
4.
,
.
5.
,
.
Решение
3. Возьмем
произвольную последовательность
и
при любом
.
Теперь
.
Возьмем произвольную
последовательность
и
при любом
.
Тогда
.
4. Возьмем
произвольную последовательность
и
при любом
.
Теперь
,
так как
последовательность
является бесконечно малой и
(теорема 2.14).
Возьмем произвольную
последовательность
и
при любом
.
Тогда
,
так как
последовательность
является бесконечно малой и
(теорема 2.14).
5. Возьмем
произвольную последовательность
и
при любом
.
Теперь
.
Возьмем произвольную
последовательность
и
при любом
.
Тогда
.
●
Задачи
Найти односторонние пределы в точке :
8.
,
.
9.
,
.
10.
,
.
11.
,
.
Предел
функции при
Рассматривается
функция, которая определена в окрестности
бесконечно удаленных точек
,
и
.
Число
называется пределом функции
при
(
,
,
если эта функция
перерабатывает
произвольную
бесконечно большую последовательность
,
в последовательность
.
В этом случае
пишут:
,
.
Примеры. Найти пределы:
6.
,
.
7.
.
8.
.
Решение
6.
Возьмем
бесконечно
большую последовательность
.
Из теоремы 2.14 следует, что последовательность
является бесконечно малой, поэтому
последовательность
также бесконечно малая. Отсюда
.
7.
Возьмем
бесконечно
большую последовательность
.
Так как последовательность
является бесконечно малой, то из
определения предела следует
.
8. Возьмем
бесконечно
большую последовательность
.
Так как последовательность
является
бесконечно малой, то из определения
предела
следует
.
●
Задачи
Найти пределы:
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
.
Свойства предела функции
Теорема 3.2.
Функции
и
имеют предел
в точке
.
Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Функция
имеют предел в точке
и
.
2. Функция
имеют предел в точке
и
.
3. Если
,
то функция
имеют предел в точке
и
.
Доказательство
вытекает
из теорем 2.6, 2.7 и 2.9. Рассмотрим произвольную
последовательность
.
Из условия теоремы следует, что
последовательности
и
сходятся. Из теорем 2.6, 2.7 и 2.9 вытекает,
что последовательности
,
и
имеют предел и справедливы равенства:
,
,
.
Из этих равенств и определения предела функции следует утверждение теоремы. ■
Следствие.
Если существует
,
то
1.
;
2.
.
Доказательство этих утверждений вытекает из 2-го утверждения теоремы. ■
Замечание. Теорема 3.2 остается справедливой, если является одним из символов , или .