Сложная и параметрически заданная функции

Пусть на некотором промежутке определена функция , а на промежутке определена функция . Если , то определена функция , которая называется сложной функцией (а также композицией или суперпозицией) и . Она определена на множестве .

Дана система уравнений

,

и выполняются условия:

1. область определения принадлежит области определения , т.е.

;

2. функция имеет обратную функцию .

При этих условиях на множестве определена сложная функция

.

В этом случае говорят о параметрически заданной функции .

Примеры

7. , ;

8. ; .

9. . ●

Задачи

1. Найти и .

а) , ; б) , .

2. Найти обратную функцию и ее область определения:

а) ; б) ; в)

г) ; д) ; е) .

§ 3.2. Определение предела функции одной переменной

Пусть функция определена на множестве . Если точка является предельной точкой множества , то из теоремы 2.17 следует, что во множестве найдется последовательность точек , , , которая сходится к числу :

, (1)

Тогда можно рассмотреть последовательность

. (2)

Если функция перерабатывает произвольную последовательность (1), сходящуюся к числу , , в последовательность (2), сходящуюся к числу , то число называется пределом функции в точке .

Предел функции в точке будем обозначать символом . Тогда , где произвольная последовательность, которая сходится к числу , .

Замечание

1. Если и последовательность , то .

2. Функция не имеет предела в точке , если, хотя бы для одной последовательности (1), последовательность (2) не имеет предела, или разные последовательности, сходящиеся к числу , функцией перерабатываются в последовательности, сходящиеся к разным пределам.

3. Если произвольная числовая последовательность сходится к числу , , а или , то в этом случае пишут или ▲

При дальнейшем изучении предела функции будем считать само собой разумеющимся следующее:

1. предел функции рассматривается только в предельной точке области определения функции ; функция может быть не определена в самой точке , поэтому рассматриваются только такие последовательности , элементы которых не равны ;

2. члены произвольной числовой последовательности , которая сходится к , принадлежат множеству и при любом .

Примеры

1. Найти предел функции .

Решение. Возьмем произвольную последовательность и найдем предел , используя теоремы 2.6, 2.7 и следствия из этой теоремы:

.

Из определения предела следует, что

.

2. Доказать, что следующие пределы не существуют:

a) ; б) , где

Решение

а) Рассмотрим последовательность при . Функция перерабатывает ее в последовательность , которая не имеет предела. Следовательно, не существует.

б) Рассмотрим две последовательности: и . Предел этих последовательностей равен 1 при . Функция «перерабатывает» их в последовательности:

при ,

при .

Так как последовательности и имеют разные пределы, то функция не имеет предела в точке . ●

Задачи

Найти пределы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. .