Инъективная и обратная функции
Функция
,
заданная на множестве
и принимающая на разных точках множества
разные значения, т.е. если
,
то
,
называется инъективной.
Примером инъективной функции является
строго монотонная функция на множестве
.
Свойства инъективных функций. Пусть на множестве задана инъективная функция . Тогда справедливы следующие утверждения.
1. Для
каждого
найдется такой единственный элемент
,
что
.
В самом деле, хотя бы один такой элемент во множестве найдется, потому что . Из инъективности функции следует, что двух таких различных элементов во множестве быть не может.
Функция
,
определенная на множестве
,
называется
обратной
к функции
,
определенной на множестве
,
если выполняются тождества
,
(2.1)
.
(2.2)
Как правило, функцию обозначают через , а аргумент через . Изменяя обозначения в обратной функции на общепринятые обозначения, получим:
.
.
2.
Функция
,
определенная на множестве
,
имеет обратную функцию
,
определенную на множестве
,
тогда и только тогда, когда
является инъективной функцией.
Необходимость. Дано, что выполняются тождества
; .
Докажем инъективность
функции
.
Если
,
а
,
то
,
т.е.
.
Противоречие.
Достаточность.
Построим
,
определенную
на множестве
.
Если элемент
,
то из первого свойства следует
существование единственного элемента
,
для которого
.
Полагая
,
получим функцию, определенную на
множестве
,
и ее множество значений
совпадает с множеством определения
функции
.
Из определения функции следует, что тождества (2.1) и (2.2) выполняются.
Функцию, обратную
к функции
обозначают символом
.
3. Если функция является обратной к функции , то функция является обратной к функции .
Из определения
обратной функции следует, что
.
Следовательно, функция
определена
на множестве
и выполняются тождества
;
.
4.
Строго
монотонная функция
имеет обратную функцию. Если функция
является возрастающей (убывающей) на
множестве
,
то функция
также является возрастающей (убывающей)
на множестве
.
Так как строго монотонная функция является инъективной, то из свойства 2 следует существование обратной функции .
Докажем, что если
является возрастающей на множестве
,
то функция
также является возрастающей на множестве
.
Предположим противное, т.е. пусть
<
,
но
.
Так как функция
является возрастающей на множестве
,
то
,
что противоречит
неравенству
.
■
Примеры
4. Доказать, что
функция
является обратной к функции
.
Решение.
Запишем
функцию
в виде
.
Рассмотрим эту функцию на множестве
,
которое совпадает с множеством
.
Проверим справедливость тождеств (2.1)
и (2.2):
,
если
;
,
если
.
5. Найти функцию,
обратную к функции
,
если
.
(2.3)
Решение. Разрешим уравнение (2.3) относительно аргумента :
,
.
Функция
является обратной для данной функции,
так как
она определена на множестве , и
;
.
6. Доказать, что
функция
,
заданная на множестве
,
имеет обратную функцию.
Решение. Функция будет иметь обратную к ней функцию, если доказать инъективность функции на множестве . Инъективность же функции будет вытекать из ее строгой монотонности. Докажем что функция монотонно возрастает на множестве :
>
.
●