Предел функции по Коши
Лемма. Если
неравенство
,
где
фиксированное число, не выполняется в
каждой окрестности
точки
и существует предел функции
в точке
,
то
.
Доказательство
от
противного, т.е. пусть
.
Рассмотрим
последовательность
.
Из условия леммы следует, что в каждой
окрестности
можно выбрать такую точку
,
что
.
Из следствия
к теореме 2.15 вытекает, что
.
Так как
,
то
.
Отсюда следует, что неравенство
справедливо при всех
.
Это противоречит неравенству
,
которое справедливо при всех
.
■
Теорема 3.12.
Функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Тогда
следующие
условия равносильны:
1. ;
2. для
каждого
найдется
окрестность
точки
,
в которой справедливо неравенство
.
Доказательство
1
2.
Предположим,
что условие 2
не выполняется
для каждого
.
Тогда существует хотя бы одно такое
число
,
что не найдется окрестности
точки
,
в которой неравенство
справедливо. Отсюда следует, что в каждой
окрестности
точки
не выполняется неравенство
.
Из леммы следует,
,
что противоречит условию 1.
2
1.
Возьмем
произвольную последовательность
и докажем, что последовательность
.
Для этого рассмотрим произвольное
.
Из условия 2
получаем,
что найдется окрестность
,
в которой
справедливо неравенство
.
Так как
,
то из теоремы 2.15 следует, что при всех
точки последовательности
принадлежат окрестности
.
Значит, неравенство
справедливо при всех
.
Этим доказано, что последовательность
.
Отсюда и из определения предела функции
вытекает
.
■
Следствие 1. Функция имеет предел в точке и . Тогда найдется такая окрестность точки , что ограничена на множестве .
Доказательство.
Возьмем
.
Из 2-го утверждения теоремы следует, что
найдется окрестность точки , в которой справедливо неравенство
.
Следствие 2.
Предел
функции
в точке
равен нулю тогда и только тогда, когда
для любого
,
найдется такая окрестность
,
что модуль значения функции в любой
точке этой окрестности меньше
,
т.е.
.
Доказательство.
Частный
случай теоремы 3.12
при значении
.
■
Замечание. Утверждение 2 теоремы 3.12 служит другим определением предела функции в точке , которое называют пределом функции по Коши.
Критерий Коши существования предела функции
Теорема 3.13. Функция определена в некоторой окрестности точки . Она имеет предел в этой точке тогда и только тогда, когда для каждого выполняется условие:
найдется такая
окрестность
точки
,
что если
,
то справедливо
неравенство
.
Необходимость. Если , то из теоремы 3.12 следует, что
найдется окрестность
точки
,
в которой справедливо неравенство
.
Тогда, если точки
,
то
.
Достаточность.
Возьмем произвольную последовательность
точек
,
и докажем, что числовая последовательность
сходится.
Из теоремы 2.15
следует, что окрестности
принадлежат все точки последовательности
,
начиная с номера
.
Отсюда, если
и
,
то имеем цепочку импликаций:
последовательность
является фундаментальной
из
теоремы 2.20 следует, что последовательность
сходится.
Необходимо еще
доказать, что предел последовательности
не зависит от выбора последовательности
.
Пусть последовательности
и
,
а последовательности
и
сходятся к разным пределам. Тогда, ввиду
условия 3 теоремы 2.15, последовательность
сходится к точке , а числовая последовательность
не имеет предела, так как две ее подпоследовательности сходятся к разным пределам. Это противоречит установленному выше утверждению: если последовательность , то последовательность сходится. Этим доказано, что функция имеет предел в точке . ■