Глава 3. Предел функции одной и многих переменных

§ 3.1. Понятие функции

Функцией , определенной на числовом множестве , называется правило, которое позволяет для каждого числа из множества построить единственное число , обозначаемое символом . Тогда называется значением функции на элементе . Множество называют областью определения функции, и ее обозначают символом , а называют независимой переменной или аргументом функции.

Множество всех значений функции на точках множества называется множеством значений функции и обозначается символом . Функцию называют также отображением множества на множество и пишут .

Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, у которых первая координата , а вторая координата .

Наиболее распространенными способами задания функции являются аналитический, табличный и графический.

Для математического анализа основным способом задания функции является аналитический, т.е. задание функции при помощи одной или нескольких формул. В последнем случае область определения функции разбивается на промежутки и в каждом промежутке функция задается одной формулой.

Если область определения функции является конечным множеством, то используется табличный способ.

Функцию можно задать графиком только в том случае, когда прямая пересекает график ровно в одной точке. Чтобы найти значение функции в точке , надо через точку провести прямую, параллельную оси , до пересечения с графиком в точке . Ордината точки является значением функции в точке .

Примеры

1. ; 2. ; 3. (читается сигнум ). ●

Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .

Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое число , что для каждого справедливо неравенство .

Заметим, что график ограниченной сверху (снизу) функции расположен ниже (выше) прямой , а график ограниченной функции расположен между прямыми и .

Функция называется возрастающей (неубывающей) на множестве , если для любых двух точек , , принадлежащих множеству , из условия следует .

Функция называется убывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых двух точек , , принадлежащих множеству , из условия следует .

Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на множестве , а убывающие и возрастающие — строго монотонными функциями.

Если одна из функций , является убывающей (невозрастающей), то другая функция будет возрастающей (неубывающей).