Задачі на перпендикулярність площин.

1. Через вершину С квадрата АВСD проведено пряму МС, перпендикулярно його площині. Довести, що площини МАD і МDС перпендикулярні.

2. Два прямокутних рівнобедрених трикутника мають спільну гіпотенузу, яка дорівнює 8 см. Площини цих трикутників взаємно перпендикулярні. Знайти відстань між вершинами прямих кутів.

3. Точка S рівновіддалена від вершин квадрата АВСD. О – її проекція на площину квадрата. З точки S проведено перпендикуляр SМ до

сторони АВ квадрата. Довести, що площини АSВ і ОSМ перпендикулярні.

4. Площини α і β взаємно перпендикулярні і перетинаються по прямій а. Площина γ перетинає площини α і β по прямим b і с відповідно, паралельним прямій а. Відстань між прямими b і а дорівнює 8 см, а між с і а – 15 см. Знайти відстань між прямою а і площиною γ.

5. Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 13 см, належать двом взаємно перпендикулярним площинам, а відстані від кінців відрізка до лінії перетину площин дорівнюють 8 см і 5 см. Знайти відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до лінії перетину площин.

6. Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізків на площини дорівнюють 20 см і 16 см. Відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до лінії перетину площин, дорівнює 12 см. Знайти довжину відрізка.

7. Відрізок лежить в одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього відрізка віддалені від прямої n перетину площин на 18 см і 10 см. У другій площині проведено пряму m, паралельну n. Відстань від одного з кінців даного відрізка до прямої m дорівнює 30 см. Знайти відстань від середини відрізка і від його другого кінця до прямої m.

8. Прямокутник АВСD перегнули по діагоналі АС так, що площини

АВС і АСD виявились перпендикулярними. Знайти відстань між точками В і D, якщо сторони прямокутника дорівнюють 6 см і 8 см.

Практичне заняття № 6 Задачі на перпендикуляр і похилу.

М ета заняття: виявлення взаємозв’язку між довжинами двох похилих, проведених з однієї точки до площини, і довжинами їх проекцій у ході розв’язування задач; формування вмінь студентів застосовувати теорему про три перпендикуляри до розв’язування задач, знаходження відстані від точки до прямої.

Перпендикуляр і похила до площини.

Означення. Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною.

Т

А

очка С – основа перпендикуляра,

т очка В – основа похилої,

АС – перпендикуляр до площини α,

АВ – похила, проведена з точки А на площину α,

С В – проекція похилої АВ на площину α.

В

С

α

Рис. 8

Теорема (про три перпендикуляри). Пряма, проведена на площині перпендикулярно до проекції похилої, перпендикулярна до цієї похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Властивості.

• Якщо з однієї точки, взятої поза площиною, проведені до цієї площини перпендикуляр і похилі, то:

1. проекції рівних похилих рівні;

2. з двох похилих та більша, проекція якої більша;

3. перпендикуляр коротший за будь-яку похилу.

   • Якщо точка рівновіддалена від сторін многокутника і основа перпендикуляра, опущеного з даної точки до площини многокутника, лежить всередині многокутника, то основа перпендикуляра є центром кола, вписаного в многокутник.

   • Якщо деяка точка рівновіддалена від вершин многокутника, то основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину многокутника, збігається з центром кола, описаного навколо многокутника.

Р ОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ

З адача №1 ( на перпендикуляр і похилу).

З точки А до площини α проведено похилі АВ і АС, довжини яких 15 см і 20 см відповідно. Знайдіть відстань від точки А до площини, якщо проекції похилих на цю площину відносяться як 9  16.

Розв’язання.

Нехай А не належить площині α. АО  α,

АВ і АС похилі, ОВ і ОС – їх проекція. За умовою ОС  ОВ = 9  16.

Нехай k – коефіцієнт пропорційності, тоді:

ОС = 9 k, ОВ = 16 k .

З прямокутного трикутника АОС (О = 90):

ОА² = АС² – ОС², ОА² = 225 – 81 k² .

З прямокутного трикутника BOA (О = 90):

ОА² = АВ² – ОВ², ОА² = 400 – 256 k² .

2

Рис. 9

25 – 81 k² = 400 – 256 k², k=1.

Отже, ОС = 9см, тоді АО = = 12(см).

Відповідь: 12 см.

З адача №2.

Через вершину А прямокутника АВСD проведено пряму АК, перпендикулярну до його площини. Відстані від точки К до решти вершин прямокутника дорівнюють 6 см, 7 см, 9 см. Знайдіть відрізок АК.

Розв’язання.

АК (АВСD). АВСD – прямокутник

(за умовою). АD<АВ<АС.

Б ільші похилі мають більші проекції. Отже, КD= 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см.

Δ АВК – прямокутний, оскільки

АК (АВСD). Із Δ АВК за теоремою Піфагора маємо: АК = .

АВ = СD – за властивістю сторін прямокутника. Розглянемо Δ СDК.

DК СD (за теоремою про три перпендикуляри). Отже, ΔСDК – прямокутний.

Тоді за теоремою Піфагора:

СD = = = (см).

Отже, АК = = = 2 (см).

АK = 2 см (рис. 10).

Відповідь: 2 см.