Тема 1.3 перпендикулярність прямих і площин.
Тема 1.4. Перпендикуляр і похила. Анотація
При знайомстві з темами проводиться вивчення взаємного розташування прямих і площин в просторі: розглядається перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин. Даний матеріал узагальнює й систематизує відомі студентам із планіметрії факти про перпендикулярність прямих.
При вивченні тем істотно зростає роль задач на обчислення. Слід зазначити, що в основі практично усіх цих задач лежать відомості, вивчені в планіметрії (див. додатки 1, 2, 3) :
теорема Піфагора і наслідки з неї;
співвідношення між елементами у прямокутному трикутнику;
теорема синусів;
теорема косинусів.
В окремих задачах ці відомості використовуються після попереднього застосування теореми про три перпендикуляри або теореми про перпендикулярні площини. При розв’язанні задач на обчислення слід підтримувати високий рівень обґрунтованості висновків (з посиланням на відомі студентам із планіметрії і вивчені в темі означення і ознаки перпендикулярності, теореми про взаємозв’язок паралельності і перпендикулярності, теорему про три перпендикуляри).
Як і при вивченні попередньої теми, істотну роль у формуванні просторових уявлень відіграють задачі на побудову, які в більшості випадків розв’язується конструктивно.
Теми мають важливе значення для вивчення многогранників.
Література
[1, ст. 227 – 232, 239 – 244]
[ 2, ст. 22 – 26, 34 – 39]
[3, ст. 182 – 195]
[4, ст. 101– 105, 113 – 115]
[5, ст. 118 – 125, 133 – 135]
[6, ст. 13 – 17, 23 – 24, 48 – 52, 58 – 59]
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 4
Задачі на перпендикулярність прямих і площин.
М ета заняття: формування вмінь студентів застосовувати означення та ознаку перпендикулярності прямих та перпендикулярності прямої та площини до розв’язування задач; а також формування знань студентів будувати перпендикулярні прямі і площини.
Перпендикулярність прямих.
Означення. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Ознака. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.
Властивість. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої.
Перпендикулярність прямої і площини.
Означення. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.
Ознака. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.
Властивості. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до цієї площини.
Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, - паралельні.
Р
ОЗГЛЯНЕМО
ПРИКЛАДИ
Задача №1 (на перпендикулярність прямої і площини).
Через центр описаного
навколо трикутника кола проведено
пряму, перпендикулярну до площини
трикутника. Доведіть, що кожна точка
прямої рівновіддалена від вершини
трикутника.
Розв’язання. Пряма
а
перпендикулярна площині (АВС). На прямій
а
візьмемо довільну точку D.
Сполучимо точку D
з вершинами трикутника АВС. Оскільки
точка О – центр описаного навколо Δ АВС
кола, можемо стверджувати, що АО = СО =
ВО – як радіуси описаного кола. DО
АО,
DО СО, DО ВО – за визначенням прямої, перпендикулярної до площини.
Рис. 6
