Практичне заняття № 3 Задачі на паралельність площин.

М ета заняття: формування вмінь студентів застосовувати ознаку паралельності площин, властивості паралельних площин і паралельного проектування до розв’язування задач та побудови перерізів многогранників.

Паралельність площин.

Означення. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака. Якщо дві прямі, які перетинаються однією площиною відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Властивості. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.

При паралельному проектуванні:

1. відрізки фігури зображаються відрізками;

2. паралельні відрізки – паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

3. довжини проекції паралельних відрізків, або відрізків однієї прямої відносяться, як довжини проектованих відрізків.

Паралельне перенесення:

1. зберігає відстані між точками;

2. відображає кут на рівний йому кут;

3. відображає площину на паралельну їй (або на цю саму) площину.

РОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАД

Задача №1 (на паралельність площин).

П лощина α і β паралельні площині γ. Чи можуть площини α і β перетинатися.

Розв’язання.

П лощини α і β не можуть перетинатися. Якби площини α і β мали спільну точку, то через цю точку проходило б дві площини (α і β), паралельні площині γ. А це суперечить теоремі 2.5 (через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну).

З адачі на паралельність площин.

1. Дві площини паралельні одній і тій самій прямій. Чи вірно, що ці площини паралельні?

2. Основи трапеції паралельні площині α. Чи паралельні площина трапеції і площина α?

3. Через вершини паралелограма АВСD, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведено паралельні прямі, які перетинають другу площину в точках А₁, В₁, С₁, D₁. Доведіть, що чотирикутник А₁В₁С₁D₁, також паралелограм.

4. Через вершини трикутника АВС, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведено паралельні прямі, які перетинають другу площину в точках А₁, В₁, С₁. Доведіть рівність трикутників АВС і А₁В₁С₁.

5. Площини α і β паралельні. Через пряму а площини α проведено площини

γ₁ і γ₂, які перетинають площину β по прямим b₁ і b₂ відповідно. Довести,

що b₁   b₂.

6. Через протилежні сторони чотирикутника АВСD проведено попарно паралельні площини. Довести, що чотирикутник АВСD – паралелограм.

7. Сторона АВ трикутника АВС лежить в площині α. Площина β паралельна площині α і перетинає сторони АС і ВС в точках А₁ і В₁ відповідно. Знайти довжину відрізка А₁В₁, якщо АВ = 12 см, СВ₁ : В₁В = 2 : 3.

8. Дано паралельні площини α і β. Точки А і В лежать у площині α, а точки

С і D – у площині β. Відрізки АС і ВD перетинаються у точці О. Знайти АО, якщо АВ = 3 см, DС = 4 см, ОС = 8 см.

9. Паралельні площини α і β перетинають сторону АВ кута ВАС відповідно в точках А₁ і А₂, а сторону АС цього кута – відповідно в точках В₁ і В₂. Знайдіть:

1. АА₂ і АВ₂, якщо А₁А₂ = 2А₁А, А₁А₂ = 12 см, АВ₁ = 5 см;

2. А₂В₂ і АА₂, якщо А₁В₁ =18 см, АА₁ = 24 см, АА₂ = А₁А₂.

10. Точка А₁ ділить ребро РА правильного тетраедра PABC у відношенні

PA₁ :A₁A=2:3. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка паралельна площині АВС і проходить через А₁. Знайдіть площу перерізу, якщо АВ=20см.