Паралельність прямої і площини.

Означення. Пряма і площина називається паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Р озглянемо приклади

Задача №1 (на паралельність прямих).

Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).

Розв’язання.

Н ехай АВСD – даний просторовий чотирикутник, а А₁, В₁, С₁, D₁ – середини його сторін. Тоді А₁В₁ – середня лінія трикутника АВС, паралельна стороні АС, С₁D₁ – середня лінія трикутника АСD, теж паралельна стороні АС. За теоремою 2.2(дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою) прямі А₁В₁ і С₁D₁ паралельні, тому лежать в одній площині. Так само доводимо паралельність прямих А₁D₁ і В₁С₁. Отже чотирикутник А₁В₁С₁D₁ лежить в одній площині і його протилежні сторони паралельні. Отже, він – паралелограм.

Задача №2 (на паралельність прямої і площини).

Доведіть, що коли площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму.

Розв’язання.

Нехай а і b – дві паралельні прямі і α – площина, яка перетинає пряму а в точці А. Проведемо через прямі а і b площину. Вона перетне площину α по деякій прямій с. Пряма с перетинає пряму а (у точці А), а отже, перетинає паралельну їй пряму b. Оскільки пряма с лежить у площині α, то площина α перетинає пряму b.

Рис. 5

Задачі на паралельність прямих.

1. Прямі а і b не паралельні, пряма с паралельна прямій а. Чи можна стверджувати, що пряма b перетинає пряму с.

2. Точка S не лежить у площині трикутника АВС, точки М, N і Р – середини відрізків SА, SВ і SС відповідно, точка К лежить на відрізку ВN. Яке взаємне положення прямих:

а) NS і АВ; г) МР і АС;

б) РК і ВС; д) KN і AC;

в) МN і АВ; е) МS і ВС.

Відповідь обґрунтуйте.

3. Точка D не належить площині трикутника АВС. М, N, Р і Q – середини відрізків АD, АВ, ВС і СD відповідно. Довести, що МN  РQ.

4. Через вершину А ромба АВСD проведена пряма а, паралельна діагоналі ВD, а через вершину С – пряма b, яка не лежить в площині ромба. Доведіть, що:

а) прямі а і СD перетинаються;

б) прямі а і b – мимобіжні прямі.

5. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. М, N, К і F – середини відрізків АВ, ВD, DС і АС відповідно. Довести, що відрізки МК і NF перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

6. Паралелограми АВСD і АВС₁D₁ лежать у різних площинах. Визначити вид чотирикутника DСС₁D₁.

7. Два рівнобедрені трикутники АВС і АВС₁ з основами АВ лежать у різних площинах. Встановіть взаємне розміщення прямих, які містять:

а) сторони АС і ВС₁;

б) сторони АС і АС₁;

в) середні лінії трикутників, які не перетинаються з АВ;

г) висоти трикутників, що проходять через вершини С і С₁.

8. Дано площину  і відрізок АВ, які не перетинаються з нею. Через кінці відрізка АВ проведено паралельні прямі, що перетинають дану площину в точках А₁ і В₁ відповідно. Виконайте такі завдання:

а) побудуйте точку перетину прямої АВ з площиною ;

б) проведіть через середину С відрізка АВ пряму, паралельну

прямій АА₁ , і знайдіть точку її перетину С₁ з площиною ;

в) знайдіть довжину відрізка СС₁, якщо АА₁ = 3, ВВ₁ = 4.

9. Через вершину D паралелограма АВСD проведено площину, яка не перетинає його, а через точки А, В, С – паралельні прямі, які перетинають цю площину в точках А₁, В₁, С₁ відповідно. Знайдіть ВВ₁, якщо АА₁ = а, СС₁ = с.

10. Трикутник АВС не перетинає площину α. Через його вершини і середини М і N відповідно сторін АВ і АС проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках А₁, В₁, С₁, М₁, N₁. Знайти довжини відрізків ВВ₁ і СС₁, якщо АА₁ = 9 см, NN₁ = 8 см і ММ₁ = 10см.

З АДАЧІ НА ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ.

1. Через точку А, яка не належить площині , проведено пряму а, паралельну площині α. Скільки існує в площині α прямих, паралельних прямій а?

2. Пряма а паралельна площині α. Чи вірно, що:

а) а не перетинає ніяку пряму, що лежить в площині α;

б) а паралельна будь-якій прямій, що лежить в площині α;

в) а паралельна деякій прямій, що лежить в площині α?

3. Довести, що якщо пряма а паралельна кожній з двох площин, що перетинаються, то вона паралельна прямій їх перетину.

4. Відрізок АВ лежить в площині α. Точка М не належить площині α. Точки К і Р – середини відрізків МА і МВ відповідно. Довести, що пряма КР паралельна площині α.

5. Дано чотирикутну піраміду SABCD, в основі якої лежить

трапеція АВСD, ВС  AD. Виконайте такі завдання:

а) визначте взаємне розміщення прямої АD і площини ВСS;

б) через середину ребра АС проведіть пряму, паралельну

площинам АВС і ВСS;

в) побудуйте пряму, що перетинає площини тільки двох бічних граней;

г) побудуйте лінію перетину площини, які містять протилежні бічні грані, що проходять через основи трапеції.

6. Через середину М сторони АВ трикутника АВС проведено площину, яка паралельна прямій АС і перетинає сторону ВС в точці N. Довести, що МN – середня лінія трикутника АВС.

7. Площина, паралельна стороні АС трикутника АВС, перетинає сторони АВ і ВС в точках А₁ і С₁ відповідно. Знайти відношення АА₁ : АВ, якщо А₁С₁ = 6, АС = 9.

8. Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС цього трикутника в точці А₁, а сторону ВС – в точці В₁. Знайдіть довжину відрізка А₁В₁, якщо:

а) АВ = 15 см, АА₁ : АС = 2 : 3;

б) АВ = 8 см, АА₁ : А₁С = 5 : 3;

в) В₁C = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5;

г) АА₁ = а, АВ =b, А₁C = с.

9. ABCD – квадрат, точка К – не лежить в його площині. Знайдіть периметр чотирикутника А₁В₁С₁D₁, якщо А₁, В₁, С₁, D₁ – середини відрізків АК, ВК, СК, DK відповідно і АВ = 8 см.

10. PABC – тетраедр, кожне ребро якого 6 см. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через середину ребра РВ паралельно ребрам РА і РС. Знайдіть площу перерізу.