З адачі. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками.

1. Знайти координати середини відрізка ST, якщо:

а) S (-4; 8; -5), Т (8; 6; -7);

б) S (-1; 13; 9), Т(10; -15; 2).

2. Точка С – середина відрізка МК. Знайти: а) координати точки М,

якщо С (-6; 2; 3,5), К (0; -8; 3); б) координати точки К, якщо

С(-5; 4; -6), М(-3; 8; 5).

3. Знайти координати вершини: а) вершини В паралелограма ABCD, якщо:

а) А (-3; 8; -5), С (-7; 6; 7), D (4; -2; -3); б) D, якщо А (3; -4; 5),

б) В (-6; 1; 6), С (-5; 2; 1).

4. Точка А₁(-4; 3; -2) і С₁(3; -1; -2) – середини сторін ВС і АВ трикутника АВС відповідно. Знайти координати вершин В і С, якщо вершина А має координати (5; 3; -6).

5. Знайти відстань між точками Е і F, якщо:

а) Е (7; -7; 10), F (1; -4; 4);

б) Е (5; -2; -1), F(-3; 4; 3).

6. В трикутнику АВС: А(3; -5; 0), В(7; 1; 4), С(-3; 9; -6). Знайти довжину середньої лінії MN трикутника АВС, де М і N – середини сторін АВ і ВС відповідно.

7. Відстань між точками А(-2; 3; z) і В(1; -5; -2) дорівнює 7 .

Знайти z.

8. Знайти точку:

а) на осі абсцис знайти точку, рівновіддалену від т. А(4; -5; 6) і В(2; 3; -4); б) на осі ординат рівновіддалену від точок - А (-2; 3; 1), В (1; 2; -4)

9. Знайти координати точок А і В та довжину відрізка АВ, якщо точка А належить осі z, точка В лежить у площині ху і точка С (-12; 10; -5) – середина відрізка АВ.

10. Довести, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках

А(-1; 5; 3), В (-3; 7; -5), С (3; 1; -5) і D (5; -1; 3) – ромб.

З адачі. Р івність векторів. Координати вектора. Колінеарність векторів.

1. Знайти координати вектора АВ, якщо:

а) А(3; -4; -7), В(-1; 5; 3);

б) А(-4; 0; 8), В(0; -6; 2);

в) А(-2; 3; 4), В(6; 13; -2).

2. Д ано точки М (-3; 2; z), N(4; -6; 3), К(х; 1; -10), Е(2; у; -15). Знайти х, у, z, якщо MN = EK.

3. Т очка К( -8; 3; -5) – кінець вектора а (6; -9; 2). Знайти координати початку вектора.

4. Довести що чотирикутник MNKP з вершинами в точках

М(-3; 2; -4), N(-1; 6; 6), К(6; 7; 8), P(4; 3; -2) є паралелограмом.

5. Дано координати трьох вершин паралелограма ABCD: А(4; -5; -2), В(2; 3; -8), D(-3; -4; 6). Знайти координати вершин С.

6. С еред векторів а (5; -3; 4), b(-2; 1; -7), с (2; -6; ), d (-3; 6; 3),

m (-5; 5; -2) знайти такі, що мають однаковий модуль.

7. М одуль вектора n (x; y; z) дорівнює 3 , його координати x і y рівні, а х і z – протилежні числа. Знайти координати вектора n.

8. Чи колінеарні вектори АВ і CD, якщо А(2; -5; 4), В(1; 4; 6),

С(-4; -6; 8), D(-2; 0; 12)?

9. З найти значення х і у, при яких вектори а (х; -8; 12) і b (24; у; -36) колінеарні.

10. Довести, що чотирикутник MPFK з вершинами в точках

М (-2; 3; -5), Р (2; 5; 2), F (4; 1; 6), К (-4; -3; -8) – трапеція.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 9

Задачі на обчислення скалярного добутку векторів і кутів між векторами.

Мета заняття: формування понять кута між векторами, скалярного добутку векторів та вміння застосовувати вивчений матеріал до розв’язування задач.

ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ

Різниця векторів (рис. 20)

а ( а_х; а_у; а_z) – b (b_x; b_y; b_z) =

=

a

a - b

С

А

Рис. 20

В

b

с (а_х-b_x; a_y-b_y; a_z-b_z).

А С –АВ =ВС.

Добуток вектора на число

 а (а_х; а_у; а_z) = с (а_х; а_у; а_z).

Колінеарні вектори

а і b – колінеарні вектори, якщо

b =   а 

Координати середини відрізка

(рис. 21)

Скалярний добуток векторів

а  b = а_хb_x +a_yb_y+a_zb_z

Властивість скалярного добутку

а  b = a  b cos



b

a

Кут між векторами (рис. 22)

c

Рис. 22

os=

Перпендикулярність векторів

а  b  а  b=0,

тобто а_хb_x +a_yb_y+a_zb_z=0

РОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ.

З адача№1.При якому значенні z вектори а (6; 0; 12) і b (-8; 13; z) перпендикулярні?

Р озв’язання .Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток рівний нулю. Тобто

a_x b_x+ a_y b_y + a_z b_z = 0,

6 (-8) + 013 + 12z = 0,

-48 + 0 + 12z = 0,

12z = 48,

z = 4.

Відповідь. z = 4.

Задача№2. Знайдіть значення m і n, при яких дані вектори а (6; m; 1) і b (18; 12; n)

колінеарні ?

Розв’язання. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні:

,

,

, = 4,

.

Відповідь. m = 4, n = 3.

З адача№3. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах АВ (3; 0; -4) і

A D (0; 5; 0).

Розв’язання. Нехай паралелограм побудований на векторах АВ і AD.

Площа паралелограма дорівнює добутку суміжних векторів на синус кута між ними:

S =АВAD sin .

 АВ= = = =5;

 AD= = =5;

c os  = = = =0.

Оскільки cos = 0, то =90. Тоді sin  = sin 90 =1 і S=551=25.

Відповідь. S = 25.