Задачі на кут між прямою і площиною.

1. Скільки прямих, які перетинають дану площину під кутом 50, можна провести через дану точку?

2. Пряма АВ з площиною α утворює кут 60. Знайдіть довжину проекції похилої АВ на площину α, якщо АВ = 48 см.

3. Довжина похилої АВ = 50см, а точка А віддалена від площини на 25см. Знайдіть кут між похилою і площиною.

4. На якій глибині знаходиться станція метро, якщо її ескалатор довжиною 85м нахилений до площини горизонту під кутом 45.

5. Похила утворює з площиною кут 30°, довжина похилої 4 см. Знайти довжину її проекції.

6. Знайти кут між похилою і площиною, якщо довжина похилої 6 см, а довжина її проекції 3 см.

7. Точка А знаходиться на відстані 9 см від площини. Похилі АВ і АС утворюють з площиною α кути 45° і 60°, а кут між проекціями похилих дорівнює 150°. Знайти відстань між точками В і С.

8. Через вершину В рівностороннього трикутника АВС до його площини провели перпендикуляр DВ довжиною 4 см. Знайти кут між прямою АD та площиною трикутника, якщо його площа дорівнює 4 см².

9. Точки А і В лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах α і β відповідно. З точок А і В проведено перпендикуляри АА₁ і ВВ₁ до лінії перетину площин. Знайти кути, які утворюють відрізок АВ з площинами α і β, якщо АА₁ = 2 см, ВВ₁ = 2 см, А₁В = 6 см.

10. Точки А і В лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Відрізок АВ утворює з цими площинами кути 30° і 45°. Знайти відстань між основами перпендикулярів, проведених з точок А і В до лінії перетину площин, якщо АВ = 8 см.

Задачі на кут між площинами.

1. Скільки площин, які перетинають дану площину під кутом 50, можна провести через дану точку?

2. Чи правильно, що площина, перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, перпендикулярна і до другої площини?

3. Чи правильно, що дві площини, перпендикулярні до третьої, паралельні?

4. Площини квадратів ABCD і АВС₁D₁ перпендикулярні, АВ=а. Знайдіть:

а) відстань СС₁; б) відстань С₁D; в) кут САС₁.

5. Площини α і β перетинаються по прямій m. У площинах α і β проведено прямі а і b відповідно, паралельні прямій m. Відстань між прямими а і m дорівнює 5 см, між b і m – 3 см. Знайти кут між площинами, якщо відстань між прямими а і b дорівнює 7 см.

6. Площини α і β перетинаються по прямій m, а кут між ними – 30°. Знайти відстань між прямою m та площиною γ, яка перетинає площини α і β по паралельним прямим віддаленим від лінії перетину площин на

2 см і 2 см.

7. Квадрат і прямокутник, площі яких відповідно дорівнюють 36 см² і

54 см², мають спільну сторону, а кут між їх площинами дорівнює 30°. Знайти відстань між паралельними сторонами прямокутника і квадрата.

8. Сторона ВС рівностороннього трикутника АВС належить площині α, а відстань від вершини А до α дорівнює 1 см. Знайти кут між площинами АВС і α, якщо площа трикутника АВС дорівнює см^2.

9. Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30°. Знайти відстань від вершини С до цієї площини, якщо катети трикутника дорівнюють

6 см і 8 см.

10. Рівнобедрені трикутники АВС і АВD мають спільну основу АВ,

рівну 24 см. Кут між їх площинами дорівнює 60°. Знайти довжину

відрізка СD, якщо ВС = 15 см і ВD = 13 см.