Тема 1.5 різні види кутів у просторі. Анотації

Різні види кутів у просторі є основними (поряд із відстанями) кількісними характеристиками взаємного розташування прямих і площин. Відпрацювання цих понять при розв’язанні обчислювальних задач є важливим при вивченні подальшого курсу геометрії.

Практично в основі всіх задач лежать відомості, вивчені в планіметрії (див. додатки 1, 2, 3):

• теорема Піфагора і наслідки з неї;

• теорема синусів;

• теорема косинусів;

• співвідношення між елементами прямокутного трикутника.

При розв’язуванні задач слід підтримувати високий рівень обґрунтованості висновків (з посиланням на відомі студентам із планіметрії і вивчені в стереометрії означення і ознаки).

Література

[1, ст. 253 – 257, 261 – 264]

[ 2, ст. 48 – 52, 54 – 59]

[3, ст. 200 – 206]

[4, ст. 107– 109, 116 – 117]

[5, ст. 130 – 133, 135 – 136]

[6, ст. 31 – 36, 66 – 71]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 7.

Задачі на різні види кутів у просторі.

Мета заняття: формування вмінь студентів знаходити різні види кутів у просторі та застосовувати теорему про площину ортогональної проекції многокутника у ході розв’язування задач.

План.

1. Задачі на кут між прямою і площиною.

2. Задачі на кут між площинами.

3. З адачі на площу ортогональної проекції многокутника.

Кут між мимобіжними прямими.

Означення. Кутом α між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим

(0°  α  90°).

Кут між прямою і площиною.

Означення. Кут γ між прямою і площиною називається кут між прямою і її проекцією на площину (0°  γ 90°).

Властивість. Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то вважають, що кут між прямою і площиною дорівнює 0°.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними дорівнює 90°.

Кутом між площинами.

Означення. Кутом β між двома площинами, які перетинаються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину (0°  β  90°).

Властивість. Якщо площини паралельні, то β = 0°.

Якщо площини перпендикулярні, то β = 90°.

Площа ортогональної проекції.

Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

Р ОЗГЛЯНЕМО ПРИКЛАДИ

Задача №1 (на кут між мимобіжними прямими)

Знайдіть кут між мимобіжними діагоналями двох суміжних граней куба.

Розв’язання.

Знайдемо кут між діагоналями АВ₁ і ВС₁ граней куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис 15).

Оскільки DC₁AB₁, то шуканий кут дорівнює куту ВС₁D. А ВС₁D =60, бо ∆ВС₁D – рівносторонній.

Відповідь: 60°.

Задача №2 (на кут між прямою і площиною).

Один з катетів рівнобедреного прямокутного трикутника лежить у

площині , а другий нахилений до неї під кутом 45°. Знайдіть кут між гіпотенузою і площиною .

Розв’язання.

Нехай АВС – трикутник, у якого

 АСВ = 90°, АС=СВ, а АО – перпендикуляр до площини , яка проходить через ВС.

Якщо АС=а, то ВС=а – так як трикутник АВС рівнобедрений. (рис. 16)

З прямокутного трикутника АОС (О= 90°): АО = АС  sinACO = a  sin 45° = .

З прямокутного трикутника АВС (С= 90°): АВ = = = а .

З прямокутного трикутника АОВ (О=90°): sinАВО= = :а = .

Отже, АВО =30°.

Відповідь: 30°.

Задача № 3 (на кут між прямими).

Три промені, які виходять з однієї точки, утворюють три гострих кути: α, β, γ. Доведіть, що коли площини кутів α і β перпендикулярні, то cos α cos β= cos γ.

Розв’язання.

Н ехай (bc) = α,  (са) = β, (аb) = γ (рис.17).

З довільної точки А променя а опустимо перпендикуляр АС на промінь с і АВ на промінь b. Оскільки площини кутів α і β перпендикулярні, то СВ – проекція АВ на площину кута α. За теоремою про три перпендикуляри СВ b. Отже, трикутники АСО, СВО, АВО – прямокутні.

Тому cos α cos β = cos γ