4. Закон Стефана-Больцмана.

Долгое время попытки получить теоретически вид функции не давали общего решения задачи. Стефан (1879г.) анализируя экспериментальные данные, пришёл к выводу, что энергетическую светимость любого тела пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов. Больцман (1884г.) из термодинамических соображений, получил теоретически для энергетической светимости абсолютно чёрного тела следующее выражение:

(4.1)

где - энергетическая светимость чёрного тела, которая зависит только от температуры. Таким образом, заключение к которому пришёл Стефан, оказалось справедливым только для абсолютно чёрных тел.

Определение: Закон Стефана-Больцмана. Энергетическая светимость чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры.

Энергетическая светимость серого тела (интегральная по ):

Следовательно, интегральная по частоте энергетическая светимость серого тела равна:

, (4.2)

где = 5,67∙10^-8 Вт/(м² К⁴) - постоянная Стефана-Больцмана.

В равновесном состоянии энергия излучения внутри объёма полости будет распределена с определённой плотность . Объёмная плотность определяется выражением:

(4.3)

где - спектральное распределение объёмной плотности равновесного излучения.

Интегральная энергетическая светимость или другими словами поверхностная плотность излучения связана с интегральной объёмной плотностью равновесного излучения , установившегося внутри полости абсолютно чёрного излучателя (малое отверстие в полости) соотношением:

(4.4)

где - скорость света. Тогда , и отсюда:

. (4.5)

Обозначим .

Величину также называют постоянной Стефана Больцмана

5. Закон смещения Вина

Закон Стефана-Больцмана ничего не говорит о спектральном составе излучения чёрного тела. Положение максимума в спектре его излучения описывается экспериментальным законом смещения Вина:

Определение: Длина волны , при которой излучательная способность чёрного тела максимальна, обратно пропорциональна его термодинамической температуре.

, (5.1)

где = 2,9∙10^-3 м∙К - постоянная Вина.

Рис. 5.1. Спектральное распределение при различных температурах. представлено в условных единицах. Показана область значений , соответствующих видимому свету. Излучение Солнца очень близко к излучению чёрного тела при температуре 5800 К. Отмечены значения на кривых, соответствующих 5000 К и 6000 К.

Из закона Вина следует, что при увеличении температуры максимум излучательной способности абсолютно твёрдого тела смещается в область более коротких длин волн (высоких частот) (первый закон Вина).

Максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно чёрного тела возрастает пропорционально пятой степени температуры (второй закон Вина)

(5.2)

где = 1,29·10^-5 Вт/(м²·К⁵) .

6. Формулы Рэлея-Джинса и Вина

Релей и Джинс сделали попытку теоретически определить равновесную плотность излучения, исходя из теоремы классической статистики о равном распределении энергии по степеням свободы. С классической точки зрения это была безупречная теория. Согласно представлениям Максвелла, Релей и Джинс предполагали что, источником и поглотителями электромагнитных волн в полости являются электрические осцилляторы (диполи). Равновесное состояние между «излучением» и «телом» представляет собой систему стоячих электромагнитных волн, возникающих при их отражении от стенок полости.