3. Дифференциальное исчисление.

1. Пределы, непрерывность и разрывы функций.

   1. Найти пределы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции в окрестностях этих точек:

;

Производные функций.

3. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; д) ; е) ;

ж)

2. Приложения производной.

   1. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

3. Приближенное решение алгебраических уравнений.

   1. Для уравнения отделить положительный корень и найти его приближенно с точностью :

а) методом деления отрезка пополам;

б) методом касательных.

Примечание. Можно считать, что точность достигнута, если разность между соседними приближениями и удовлетворяет неравенству .

3. Интегральное исчисление.

1. Неопределенный интеграл.

   1. Найти интегралы:

а) ; б) ; д) .

2. Несобственные интегралы.

   1. Вычислить интеграл или установить его расходимость:

3. Применения определенных интегралов.

   1. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

2. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

.

4. Приближенное вычисление определенных интегралов.

   1. Для вычисления определенного интеграла , разбивая отрезок интегрирования сначала на 10 равных частей, а затем на 20 равных частей, найти приближенное значение и : а) по формуле трапеций; б) по формуле Симпсона. Оценить точность приближения с помощью разности .

3. Функции нескольких переменных.

1. Частные производные и дифференциал функции.

   1. Найти дифференциал функции .

   2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

2. Приложения частных производных.

   1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

   2. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

3. Двойные, тройные и криволинейные интегралы.

1. Двойные интегралы.

   1. Изменить порядок интегрирования:

.

2. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

3. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

2. Тройные интегралы.

   1. Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

   2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

3. Криволинейные интегралы.

   1. Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

   2. Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.