8.3. Косой изгиб (изгиб в двух плоскостях)

Изгиб называется косым, если плоскость деформации (расположения изо­гнутой оси балки) не совпадает с плоскостью действия внешних сил и мо­ментов.

Пусть на балку действует сила F, составляющая угол  с осью симметрии сечения z (рис. 8.2, а).

Рис 8.2

Балка имеет прямоугольное сечение, в котором высота h больше ширины b, вследствие чего и осевые моменты инерции сечения различны:

J_у = bh³/12 >J_z = hb³/12.

В данном случае наибольшие напряжения возникают в точках поперечно­го сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, где напряжение равно нулю. Для определения значений наибольших напряжений в опасном сече­нии АВСД сила F раскладывается на две составляющие — горизонтальную F_у и вертикальную F_Z по направлениям главных осей инерции сечения (рис 8.2, а). В этом случае эпюры напряжений  _гор в горизонтальной и  _верт в вертикальной плоскостях строятся на основании правил и формул, получен­ных ранее для плоского поперечного изгиба (рис. 8.2, б). Максимальные на­пряжения будут в точках опасного сечения, наиболее удаленных от соответствующих нейтральных осей. Так как растягивающим напряжениям припи­сывается знак плюс, а сжимающим - знак минус, то нетрудно увидеть из рис. 8.2, б, что наиболее напряженными будут точки В и Д сечения. Возникаю­щие в них напряжения _верт и _гор согласно принципу независимости дейст­вия сил суммируются. Таким образом в рассмотренном случае косого изгиба балки прямоугольного сечения условие прочности в опасном сечении приоб­ретает вид:

(8.2)

8.4. Изгиб и кручение

При нагружении круглого бруса (вала) крутящим М_кр и изгибающим М_и моментами эквивалентное напряжение в рассматриваемом сечении определя­ется на основании энергетической теории прочности при статическом нагру­жении по формуле

(8.3)

Учитывая, что W_р = 2W_у ,получим условия прочности в виде

(8.4)

где М_Э = - эквивалентный момент.

При переменных нагрузках проверку на прочность проводят по формуле

(8.5)

где и - расчетные значения запасов прочности по нормальным и каса­тельным напряжениям (более подробно см. раздел «Переменные напряже­ния»)

8.5. Расчет тонкостенных сосудов

К тонкостенным сосудам относятся емкости для хранения жидкостей и га­зов, элементы теплообменников, трубопроводов, регуляторов давления, сильфонов, толщина стенок которых не превышает 0,1 минимального радиу­са кривизны. Конструктивные исполнения тонких сосудов может быть раз­личное, а методика расчета на прочность отличается незначительно.

Если сосуды имеют форму тел вращения, то без большой погрешности можно принять, что в стенках возникают только нормальные напряжения (растягивающие или сжимающие) и что эти напряжения распределены рав­номерно по толщине стенки.

Рассмотрим тонкостенный сосуд с толщиной стенки t, находящийся под внутренним давлением р (рис. 8.3).

Вырежем из его стенки элемент площадью dА = d1₁d1₂, радиусы кривизны поверхности сосуда в данном месте ₁ и ₂.

Используя метод сечений, заменим взаимодействие элемента dA c остав­шейся частью сосуда внутренними силами N₁ и N₂, интенсивность которых равна ₁ и ₂. Составим условие статического равновесия элемента, для чего спроецируем силы, действующие на элемент, на направление нормали п - п к поверхности элемента.

Внешняя сила N от внутреннего давления р будет равна N = рdА = рdl₁dl₂ .

Проекция на нормаль п - п внутренних сил N₁ и N₂, действующих попар­но на четырех гранях, равна 2N₁sin(d ₁/2)+ 2N₂sin(d ₂/2)=2₁A₁sin(d ₁/2)+ +2₂A₂sin(d ₂/2).

С учетом ма­лости размеров элемента dА примем sin(d ₁/2)= d ₁/2, a sin(d ₂/2)= d ₂/2.

Тогда уравнение равновесия элемента записывается в виде

рdl₁dl₂ = 2₁ A₁ d ₁ / 2+2₂ A₂ d ₂/2=₁ A₁ d ₁+ ₂ A₂ d ₂.

Из условия dl₁ = ₁d ₁, dl₂ = ₂d ₂ выразим d ₁ = dl₁/₁, d ₂ = dl₂/₂ . Подставив эти значения в уравнение с учетом того, что A₁ = t dl₂, а A₂ = t dl₁ (см. рис. 8.3) получим:

рdl₁dl₂ = ₁ tdl₂ dl₁ / ₁+₂ t dl₁dl₂ / ₂

Разделив левую и правую части уравнения на tdl₁dl₂ получим окончательную формулу для расчета тонкостенных сосудов, которую называют формулой Лапласа:

₁/₁+₂/₂=p/t (8.6)

Рассмотрим расчет двух видов сосудов, наиболее часто встречающихся на практике: сферического и цилиндрического. При этом ограничимся случаями действия внутреннего газового давления.

1. Сферический сосуд. В этом случае ₁= ₂ = r, где r - радиус сферы, а ₁ =₂=  . Из формулы (8.6) следует, что

=рr/2t (8.7)

Исследования показывают, что поскольку в данном случае имеет место плоское напряженное состояние, то согласно энергетической теории провер­ка прочности ведется, как в случае одноосного напряженного состояния:

=рr/2t[] (8.8)

2. Цилиндрический сосуд. В этом случае (рис. 8.4, а) ₁ = r - радиус ци­линдра, ₂ = .

Из уравнения Лапласа получаем ₁/r=p/t, откуда

₁=pr/t (8.9)

Для определения напряжения ₂ используем метод сечений. Рассечем со­суд плоскостью п-п, перпендикулярной его оси, мысленно отбросим правую часть и рассмотрим условие равновесия левой оставшейся части (рис. 8.4, б). На неё действуют сила давления газа на днище F = рА₁ = рr², а также внут­ренняя сила от напряжения ₂, равная N₂ =₂А₂ =₂2rt. Проецируя эти си­лы на ось сосуда, получаем:

-F + N₂ =0; рr²+₂2rt = 0, откуда ₂= pr/2t. (8.10) Из зависимостей (8.9) и (8.10) видно, что в цилиндрическом сосуде на­пряжение в продольном сечении в 2 раза больше, чем в поперечном. Это учи­тывают на практике при изготовлении составных цилиндрических резервуа­ров: продольные сварные швы выполняют более прочными, чем поперечные. При расчете на прочность цилиндрического сосуда рекомендуется применять формулу, основанную на энергетической теории прочности: _Э= 0,86₁ = 0,86pr/t  [] (8.11)