7. Устойчивость сжатых стержней

7.1. Продольный изгиб. Формула Эйлера

Как указывалось выше, кроме расчетов на прочность и жесткость третьей задачей сопротивления материалов является расчет конструкции на устойчивость. На устойчивость необходимо проверять длинные стержни, работающие на сжатие.

Рассмотрим стержень, укрепленный в двух шарнирных опорах: подвижной А и неподвижной В (рис.7.1,а)

До тех пор , пока продольная сжимающая сила F сравнительно ма­ла, стержень сохраняет свою первоначальную прямолинейную форму . Даже если ось стержня изогнуть какой-либо внешней поперечной силой, а затем отпустить, стержень снова станет прямолинейным. Такое со­стояние сжатого стержня называется устойчивым.

Если силу F увеличивать, то при определенном ее значении F = F_кр (рис.7.1,6) любое, даже самое малое отклонение стержня у на расстоянии х от опоры А не исчезнет, он останется искривленным. С точки зрения прямолинейной формы равновесия сжатого стержня такая форма будет считаться неустойчивой. Вместо нее возникнет новая устойчивая форма - искривленная, а соответствующий этой форме вид деформации назы­вают продольный изгиб.

Если деформация происходит в пределах упругости (а в данном разделе курса мы рассматриваем только такие задачи), то дифференци­альное уравнение изогнутой продольной оси стержня для малых от­клонений y будет иметь вид

где М_и = F_кру - изгибающий момент в сечении на расстоянии х от опо­ры А.

Решив эту формулу, академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер в 1744 году вывел формулу для определения критической силы:

(7.1)

где Е - модуль упругости при сжатии, I_min - минимальный момент инерции сечения стержня (потеря устойчивости будет происходить именно в плоскости наименьшей жесткости).

Экспериментальные исследования показали, что при прочих равных условиях значение критической силы зависит от способа закрепления концов стержня. Ось стержня (рис. 7.1,б) при потере устойчивости при­обретает вид полуволны синусоиды. При других случаях закрепления расчетная длина l заменяется ее приведенным значением l_пр = l, где  - коэффициент приведения длины. На рис.7.2 изображены не­сколько случаев закрепления стержня и указаны соответствующие ко­эффициенты приведения .

Таким образом , общее выражение критической силы при любом способе закрепления концов стержня имеет вид :

(7.2)

Соответствующее этой силе критическое напряжение в поперечном се­чении стержня будет равно

(7.3)

обозначим - минимальный радиус инерции стержня (мм),

 =  l / i_min - гибкость стержня , тогда получим:

(7.4)

Таким образом при расчете тонких стержней на устойчивость важную роль играет безразмерная величина , называемая гибкостью стержня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости, не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой и размерами сечения :

(7.5)