4.2. Осевые и полярные моменты инерции прямоугольника, круга и кольца

r

z A z z

dA

z dz 

h y 0 y d₀ y

d

b d

а) б) в)

Рис. 4. 3

1. Рассмотрим прямоугольник с основанием b и высотой h (рис. 4.3, а). Проведем главные центральные оси инерции y и z, совместив их с осями симметрии, выделим элемент dA = b · dz, отстоящий на расстоянии z от оси y. Согласно формуле (4.3) получим:

_+0.5h

I_y = _A z² dA = _A z² b dz = b · h³ / 12 (4.8)

^-0.5h

Аналогично I_z = h · b³ / 12.

Размерность – мм⁴ .

2. Рассмотрим сплошное круглое сечение радиусом r (диаметром d = 2r) (рис. 4.3, б). Выделим в сечении круга элементарное кольцо радиусом , толщиной d, площадью dA = 2d. Полярный момент инерции определим по формуле (4.4):

_r

I_p = _A ² dA =  ² 2d = (r⁴ / 2) = (d⁴ / 32) (4.9)

⁰

Поскольку осевые моменты инерции круглого сечения за счет симметрии равны между собой, то с учетом (4.5) получим:

I_y = I_z = I_p /2 = d⁴ / 64 (4.10)

3. Моменты инерции кольца с внешним диаметром d и внутренним d₀ (рис. 4.3, в) находятся как разность моментов инерции внешнего и внутреннего кругов:

I_y = I_z = d⁴ / 64 - d₀⁴ / 64 = (d⁴ / 64) (1 – c⁴ ) (4.11)

I_p = (d⁴ / 32) (1 – c⁴),

где с = d₀ / d.

4. Определим осевые моменты инерции I_y и I_z сложного сечения (рис. 4.4), состоящего из прямоугольника со сторонами b = 40 мм и h = 20 мм с двумя равными отверстиями диаметром d = 10 мм, расположенными симметрично относительно главной центральной оси OZ на расстоянии а = 10 мм.

z₁ z z₂

h d d y, y₁, y₂

0

a a

b

Рис. 4. 4

Проведем главные центральные оси yOz, которые будут совпадать с осями симметрии прямоугольника. Оси y₁ и y₂ отверстий совпадут с осью y, а оси z₁ и z₂ отстоят от оси z на равные расстояния а = 10 мм. Получаем:

I_y = I^_y - 2I_y = (bh³ / 12) - 2(d⁴ / 64) = (40 · 20³ / 12) - 2 · (3.14 · 10⁴ / 64) = 26666 - 980 = 25686 мм⁴.

I_z = I^_z - 2 (I_z + a² A) = (hb³ / 12) - 2 · (d⁴/64 + 10²·d²/4) =(20·40³/12) – 2 · (490 + 7850) = 106700 – 16680 = 90020 мм⁴.