10. Опр. Лин. Дифф-ного ур. 1-п

Уравнения вида: называется Линейным дифференциальным уравнением 1-п, где искомая функция и её роизводная входят в уравнение в первой степени и не перемножаются между собой.

В зависимости от правой части различают линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-п:

• если то уравнение называется линейным однородным;

• если , то уравнение называется линейным неоднородным.

(Дополнительная информация)

Линейные дифференциальные уравнения 1-п, правая часть которых равна нулю:

Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому его общее решение получается разделением переменных: .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-п: где

Искомая функция и её производная входят в уравнение в 1 степени и не перемножаются между собой.

Метод Бернулли:

1.Искомую функцию заменяем произведением двух неизвестных функций: , где и .

Исходное уравнение принимает вид :

2.Обьединяем 2-е и 3-е слагаемое:

3.Приравниваем полученную скобку к нулю: Находим - любое частное решение этого уравнения.

4.Подставляем в уравнение со скобками, скобка равна 0, поэтому получим уравнение: . Находим общее решение этого уравнения :

5.Общим решением исходного линейного неоднородного уравнения является произведение и :

.

11. Опр. Ур. Бернулли

Уравнения вида: , называется ур. Бернулли где

Отличаются от линейных неоднородных уравнений первого порядка наличием в правой части

Метод решения:

Для интегрирования уравнений Бернулли нужно применить метод Бернулли с учётом дополнительного множителя .

12. Опр. Ур. В полных дифф-лах

Уравнения вида: называется уравнения в полных дифференциалах, если выполняются равенство:

Метод решения:

Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных Эту функцию находим так:

1.Составляем систему:

2. Интегрируем 1-ое уравнение по :

где произвольная функция от .

3.Подберем функцию так, чтобы выполнялось 2-ое уравнение системы. Для этого продифференцируем правую часть последнего равенства по и производную приравняем к

4. Из полученного уравнения выражаем . Интегрируем полученное равенство, находим .

5.Подставляем найденную функцию в . Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения в неявном виде определяется уравнением: ,

где - произвольная постоянная.

13. Опр. дифф-ного ур. n-го порядка.

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

или, если оно разрешено относительно старшей производной,

где - независимая переменная; - искомая функция от ; -её производные.

14. Опр. решения дифф-ного ур. n-го порядка.

Решением уравнения n-го порядка называется всякая n раз дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

15. Опр. Задачи Коши для дифф-ного ур. n-го порядка.

Задачи Коши для уравнения n-го порядка состоит в том, чтобы найти такое решение уравнения, которое при удовлетворяет n условиям:

,

…

где , , , … , -заданные числа, которые называются начальными условиями.

16. Опр. общ. Решения дифф-ного ур. n-го порядка.

Функция : ,

Зависящая от и от произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения n-го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

17. Опр. частного Решения дифф-ного ур. n-го порядка.

Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных: называется частным решением этого уравнения.

18-19. Опр. лин. однородного дифф-ного ур. 2-п и Опр. лин. неод-ного дифф-ного ур. 2-п

Уравнение вида: где - искомая функция, - непрерывные функции на некотором интервале называется линейным дифференциальным уравнением 2-п.

1.Если в ЛДУ-2п: то уравнение называется линейным однородным уравнением.

Теорема:

Если функции , – решения ЛОДУ-2п :

То функция : , при любых значениях постоянных и так же является решением уравнении.

2.Если в ЛДУ-2п: то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.

20. Опр. лин. зависимости функ.

Функция и называются линейными зависимыми на если существуют такие числа и из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство:

и то

21. Опр. лин. независимости функ.

Функция и называются линейными независимыми на если не существуют такие числа и из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство:

Другими словами:

Если равенство : выполняется сразу для всех только при: то функция и называются линейными независимыми.

22. Опр. опред-ля Вронского.

Опр . вида: - называется определитель Вронского, он является функцией, опр. на и обозначается или .

23. Теор. об опр. Вронского для лин. зависимых функ.

Если функции и линейно зависимы на то опр. Вронского, составленный из них равен 0 на этом интервале.

24. Теор. об опр. Вронского для лин. независимых реш. ЛОДУ-2п

Если решение и ЛОДУ-2п линейно независима тогда на опр. Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

25. Теор. о струк. общ. реш. ЛОДУ-2п

Если функция и – линейно независимые на решения ЛОДУ-2п:

то функция где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

26. Теор. о струк. общ. реш. ЛНДУ-2п

Общее решение ЛНДУ-2п есть сумма любого его частного и общего решения соответствующего ЛОДУ-2п:

27. Опр. лин. одн-ного ур. 2-п с пост-ными коэф. (ЛОДУ-2п –пк)

Уравнение вида: где и - вещественные числа, -непрерывная функция

и в котором - называется Линейным однородным дифференциальным уравнением 2п-пк

28. Опр. лин. неодн-ного ур. 2-п с пост-ными коэф.(ЛНДУ-2п-пк)

Уравнение вида: где и - вещественные числа, -непрерывная функция

и в котором - называется Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2п-пк

29. Опр. хар-кого ур. для ЛОДУ-2п-пк

Уравнение вида: называется характерическим уравнением ЛОДУ-2п-пк

Замечание:

Характерическое уравнение получается из ЛОДУ-2п-пк заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями , причем сама функция заменяется единицей.