Основные определения и термины

В разных областях целенаправленной деятельности часто возникают конфликтные ситуации, характеризуемые наличием противоположных интересов коллективов, которые пытаются достичь своих целей часто в ущерб друг другу. Размеры ущерба и его конкретное выражение могут быть самыми разными. Особое место в изучении проблем конфликта занимает выбор и сравнительный анализ возможных (допустимых) способов поведения противоборствующих сторон, что дает основу для принятия каждой стороной разумных решений относительно своих действий. При этом стороны, принимающие решение в рассматриваемых условиях, должны учитывать не только поставленные перед собой цели, но и цели противоборствующей стороны.

Каждая сторона, участвующая в конфликте, является активной составляющей. Она формулирует свои цели, имеет средства для их достижения, разрабатывает и оценивает по принятым критериям стратегии, осуществляет рациональный (оптимальный) выбор поведения применительно к обстановке. Это означает, что стороны ведут своеобразную игру с различными противниками. Раздел исследования операций, связанный с математическим моделированием условий конфликта и поиском на этой основе оптимальных решений, называют теорией игр.

В дальнейшем термин «игра» будет употребляться только в значении «математическая модель конфликта», а противоборствующие стороны будут называться игроками и обозначаться символами А и В. Чтобы раскрыть содержание того или иного конфликта, достаточно получить ответы на следующие вопросы: "какие стороны участвуют в конфликте?", "какие стратегии может применять каждая сторона?'', "каковы ожидаемые результаты применения; сторонами своих стратегий?", "кто заинтересован в указанных результатах?", "в чём выражается эта заинтересованность?". Математическая интерпретация поставленных вопросов и возможных ответов на них позволяет строить и исследовать игровые модели операций в широком диапазоне исходных условий.

Обычно строится упрощённая ММ без привходящих факторов, называемая "игрой". От реальной ситуации игра отличается тем; что ведётся по определённым правилам. Стороны, участвующие в игре, называются "игроками", а результат их столкновения обозначается как "выигрыш" одного из них. Игра может быть "парной" или "множественной". Участники множественной игры могут образовывать коалиции постоянные или временные. Под правилами игры понимается система условий, реализующая возможные варианты действий обеих сторон, объём информации у каждой стороны о поведении другой стороны, последовательность чередования действий (ходов) игроков, результат (исход) игры, к которому приводит совокупность ходов игроков.

Игра называется "игрой с нулевой суммой", когда один игрок выигрывает то, что проигрывает другой (сумма выигрышей равна нулю). При анализе рассматривается выигрыш только одного игрока ("мы", обозначаемого в дальнейшем как А, "противника", обозначаем как В). Всегда рассматривается А "выигрывающим", а В всегда "проигрывает".

Ход в игре означает выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов. Различаем личные и случайные ходы. Личные ходы – это сознательный выбор одного из возможных вариантов в данной игровой ситуации. При случайном выборе вариантов задаётся распределение вероятностей возможных исходов. Некоторые игры могут состоять только из случайных ходов (азартные игры, например игра в "кости"). Игры могут состоять также только из личных, ходов (например, шахматы) или из смешанных (личных и случайных, например, карточные игры).

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих однозначно выбор хода в зависимости от ситуации в игре. По числу возможных стратегий игры бывают конечные и бесконечные. В конечной игре игрок А имеет m стратегий, а игрок В использует п стратегий. Такая игра называется "игрой ". Обозначим эти стратегии соответственно и . Если игра состоит из личных ходов, то выбор нары стратегий однозначно определяет выигрыш игрока А, обозначаемый . Если игра, кроме личных ходов содержит ещё и случайные ходы, то при паре стратегий выигрыш есть случайная величина, которую можно оценить математическим ожиданиями и также обозначить как .

Если известны все значения выигрышей при выборе стратегий игроками, то их можно представить в виде матрицы игры . На пересечении i-й строки (стратегии игрока А) с j-м столбцом (стратегией игрока В) в матрице игры находится значение выигрыша игрока А( ).

Основой игры являются предположение, что противник, по меньшей мере, так же разумен, как и мы, и делает всё для того, чтобы помешать нам добиться своей цели. Фактически в ММ игры не учитывается элемент риска, просчёты и ошибки игроков. Важным ограничением ММ игры является то, что выигрыш искусственно сводится к одному единственному числу. На практике приходится учитывать несколько критериев успеха. Стратегия, оптимальная по одному критерию, необязательно будет оптимальной по другим критериям.

Для определения оптимальных стратегий поведения сторон в состязательных задачах используются:

• для игровых моделей с полной информацией – наиболее часто аппарат линейного программирования;

• при наличии неполной информации (риска) – специальные алгоритмы теории игр;

• при неопределенности поведения игроков – теория статистических решений.

Матричные игры

Постановка задачи

Пусть у первого игрока имеются ходыА₁,А₂,…А_m а у второго игрока – .

Такая игра называется игрой с нулевой суммой, если ( ).

Игра называется антагонистической, так как величину, которую выигрывает первый игрок, второй игрок проигрывает.

Игра задается матрицей выигрышей A,

(3.1.3)

Отдельный розыгрыш или исход игры осуществляется следующим образом: первый игрок тайным образом выбирает свой ход (т.е. он выбирает -ю строку матрицы ), а второй игрок выбирает тайно ход ( -ый столбец матрицы ). На пересечении -ой строки и -го столбца находится элемент . Тогда первый игрок выигрывает это число, а второй проигрывает (должен заплатить ему это число). Понятие “выиграл”и “проиграл” относительные, так как, если , то на самом деле второй игрок получит сумму , а первый проигрывает .

Розыгрыши могут повторяться однократно, некоторое количество раз, бесконечно. Ясно, что первый игрок должен выбирать такой свой ход , чтобы было как можно больше (желательно положительным), а второй – таким образом, чтобы было меньше (желательно отрицательным).