Обробка результатів досліджень методами математичної статистики
У цьому підрозділі розглянемо лише такі питання:
визначення необхідного об’єму вибірки;
бракування сумнівних дат;
відновлення дат, що випали;
приклад використання дисперсійного аналізу.
де п — об’єм вибірки; І — критерій Стьюдента; 5 — стандартне відхилення; 5х — помилка середнього арифметичного.
К
Визначення необхідного об’єму вибірки (кількості рослин, листків, квітів, качанів кукурудзи, кошиків соняшнику, бульб картоплі тощо) для аналізу розраховують за формулою
оли
дослідження планують на рівні довірливої
імовірності Ро95,
то критерій Стьюдента становить 2, а на
рівні імовірності Р099
— 3. Стандартне відхилення розраховують
за формулою Пірсона
5 = К(Xтах - Xтіп),
де К — коефіцієнт Пірсона (беруть із табл. 25) за відповідного об’єму вибірки; Хтах — найбільша величина досліджуваного показника у вибірці; Хтіп — найменша величина досліджуваного показника у вибірці.
Таблиця
25.
Значення К
для визначення стандартного відхилення
(5) за відповідного об’єму вибірки
(п) |
К |
п |
К |
п |
К |
п |
К |
2 |
0,89 |
6 |
0,40 |
10 |
0,32 |
20 |
0,27 |
3 |
0,59 |
7 |
0,37 |
11 |
0,31 |
30 |
0,25 |
4 |
0,49 |
8 |
0,35 |
12 |
0,29 |
40 |
0,23 |
5 |
0,43 |
9 |
0,34 |
13 |
0,28 |
50 |
0,22 |
Нехай при визначенні висоти стебел озимої пшениці залежно від попередника орієнтовно взяли 40 рослин, максимальна (Хтах) висота яких становила 90 см, а мінімальна (Хтіп )60 см. Згідно з попередньо наведеними даними при п = 40 значення К = 0,23. При цьому стандартне відхилення 5 = (Хтах - Хтіп)К = (60 - 90) • 0,23 = 6,9. На рівні довірливої імовірності Р095 І = 2. Якщо дослід планують проводити так, щоб помилка середнього арифметичного (5х) становила не більше 2 см, тоді необхідний об’єм вибірки (п) становитиме:
п=(И) =() =1:47,6=476=48 стебвл
Отже, для визначення середньої висоти стебел пшениці на нижчому рівні точності Р0,95 на ділянці потрібно заміряти 48 стебел, а
на вищому рівні точності Р 099 — 107 стебел [(3 • 6,9)/2]2.
Якщо для висоти стебел пшениці чи іншого показника рослин вже відомий коефіцієнт варіювання, то формула для обчислення об’єму вибірки буде такою
де І — критерій Стьюдента; V — коефіцієнт варіювання; 5х% — відносна похибка досліджень.
Бракування сумнівних дат. Для великих вибірок бракування сумнівних дат проводять за інтервальною оцінкою варіаційного ря
ду:
х ± І5х,
д
е
х
— середнє арифметичне варіаційного
ряду; І
— критерій Стьюдента за певного
рівня імовірності; 5х
— помилка середнього арифметичного,
яку, в свою чергу, обчислюють за формулою
п
де 5 — стандартне відхилення
об’єм вибірки.
Пр иклад 1. Середня висота рослин пшениці х = 40 см, помилка середнього арифметичного 5х = 3 см, критерій Стьюдента на рівні довірливої імовірності Ро 95 І = 2. Тоді І5х = 2 • 3 = 6 см, нижнє значення інтервалу становитиме х - І5х = 40 - 6 = 34, вище значення інтервалу — х + І5х = 40 + 6 = 46. Звідси інтервал становитиме 34 + 46 см, що вказує на такий висновок: стебла пшениці нижче 34 см та вище 46 см не належать до цього варіаційного ряду на рівні імовірності Р0,95 і всі вони бракуються.
Бракування сумнівних дат проводять за критерієм тау (т). Якщо фактично розрахований критерій т буде більшим за критерій т теоретичний, що знаходять за табл. 24, то сумнівна дата не належить до цього варіаційного ряду і повинна бути вибракувана. Коли ж фактичний т менший за теоретичний т, то ця дата належить до варіаційного ряду і повинна бути врахована при обчислюванні середньої арифметичної.
За допомогою критерію т визначають належність сумнівних дат кожної повторності до даного варіанта.
Приклад 2. У досліді із соняшником п’ять повторностей, у кожній з яких врожайність насіння в ц/га становила відповідно 22, 23, 10, 24 і 27.
Ці значення розставляють у наростаючому порядку і привласнюють їм номер:
10 22 23 24 27
*1 Х2 Хз Хп-1 Хп
Як правило, сумнівними можуть бути крайні величини — 10 або 27. їх перевіряють за формулами
т . _ Х2 - Хх _ 22 -10 _ 12 _ 0,857;
Х„_і - Х, 24 -10 14
Хп - Хп_! _ 27 - 24 _ 3 _ 060 ' Хп - Х2 27 - 22 5 ’ '
Для п’яти повторностей теоретичні критерії т на двох рівнях довірливої імовірності беремо з табл. 26, і вони дорівнюватимуть:
т0,95 = 0,807; т0,99 = 0,916.
Таблиця
26.
Значення критерію т залежно від
числа повторень та рівня довірливої
імовірності |
Р |
п |
Р |
||||
0,95 |
0,99 |
0,95 |
0,99 |
||||
4 |
0,955 |
0,991 |
14 |
0,395 |
0502 |
||
5 |
0,807 |
0,916 |
16 |
0,369 |
0,472 |
||
6 |
0,689 |
0,805 |
18 |
0,349 |
0,449 |
||
7 |
0,610 |
0,740 |
20 |
0,334 |
0,430 |
||
8 |
0,554 |
0,683 |
22 |
0,320 |
0,414 |
||
9 |
0,512 |
0,635 |
24 |
0,309 |
0,400 |
||
10 |
0,477 |
0,597 |
26 |
0,299 |
0,389 |
||
11 |
0,450 |
0,566 |
28 |
0,291 |
0,378 |
||
12 |
0,428 |
0,541 |
30 |
0,283 |
0,369 |
||
Порівнюємо фактичні критерії т з теоретичним і робимо висновки про належність сумнівних дат до даного короткого варіаційного ряду. Оскільки в нашому прикладі критерій ттіп дорівнює 0,857, що більше за т0,95, який становить 0,807 і менше за т0,99, який становить 0,916, то врожайність соняшнику 10 ц/га сумнівна, тобто вона не належить до даного варіаційного ряду на рівні імовірності Р0,95, але є несумнівною на рівні Р099.
Критерій ттах становить 0,60, що менше за теоретичні значення критерію т на обох рівнях імовірності, тому врожайність соняшнику 27 ц/га не є сумнівною і вона належить до даного варіаційного ряду.
Відновлення дат, що випали. У дослідах з деяких причин можуть випадати дати в окремих повторностях, що ускладнює статистичну обробку даних, або робить її навіть неможливою, бо більшість статистичних методів потребує наявності даних в усіх повтор- ностях досліду. В такому разі необхідно відновлювати дати, що випали, за такою формулою
х = (IV + пр) -2 Х
хвідн°в (і - !)(п -1) >
де і — кількість варіантів у досліді; V — сума даних у тому варіанті, де є випадання даних; п — кількість повторностей; р — сума даних у тому повторенні, де є випадання даних; 2Х - сума даних у всьому досліді.
Пр иклад 3. Скористаємось результатами обліку врожайності озимої пшениці залежно від попередників, наведеними в табл. 27.
Таблиця
27.
Урожайність озимої пшениці після
різних попередників, ц/га |
Урожайність зерна (ц/га) у повторностях |
||||
I |
II |
III |
IV |
||
1. Чорний пар |
59 |
60 |
58 |
57 |
|
2. Багаторічні трави |
56 |
58 |
55 |
54 |
|
3. Кукурудза на силос |
42 |
44 |
43 |
Х |
|
Згідно з табличними даних після кукурудзи на силос у четвертому повторенні випали дані, які треба відновити. Сума даних у цьому варіанті становить V = 42 + 44 + 43 = 129; сума даних по четвертому повторенню становить: р = 57 + 54 = 111, а сума даних в усьому досліду становитиме 2X = 59 + 60 + + 58 + 57 + 56 + 58 + 55 + 54 + 42 + 44 + 43 = 586. Підставивши ці дані у наведену вище формулу, отримаємо значення дати, що випала:
х (IV + пр) (3 • 129 + 4 • 111) - 586 386 + 4444 - 586 ц/
хшднокл = (і - 1)(п -1) = (3 -1)(4 -1) = 2 • 3 = 41Ц/га'
Однак слід зазначити, що таке відновлення дат можна робити лише тоді, коли є випадання на одній—двох ділянках досліду, а якщо випадань багато, то потрібно ставити питання про бракування самого досліду як зіпсованого і непридатного для аналізу. Тому слід доглядати кожний дослід так, щоб у ньому не було дат, що випали.
Дисперсійний аналіз даних у досліді, розміщеному методом рендомізованих повторень розглянемо на прикладі.
Приклад
4. Скористаємось
попередніми даними, де відновлювали
дату, яка випала. Вона становить 41
ц/га. (варіант) |
Урожайність (ц/га) у повторностях (Х) |
Середня X |
||||
I |
II |
III |
IV |
|||
1. Чорний пар |
59 |
60 |
58 |
57 |
58,5 |
|
2. Багаторічні трави |
56 |
58 |
55 |
54 |
55,8 |
|
3. Кукурудза на силос |
42 |
44 |
43 |
41 |
42,5 |
|
Потрібно визначити, чи достовірно знижується порівняно з паром врожайність озимої пшениці після багаторічних трав та кукурудзи на силос. Дисперсійний аналіз ведуть у такій послідовності:
Визначають кількість варіантів І = 3; число повторень п = 4 та загальну кількість ділянок N _ Іп = 4 • 3 = 12.
Обчислюють середню врожайність по всьому досліду, тобто з 12 ділянок:
- _МХ _ 59 + 60 + 58 + 57 + 56 + 58 + 55 + 54 + 42 + 44 + 43 + 41 _ 523 ,
XN _ N ~ 12 _ ц/га.
Заокруглюють цю врожайність до цілого числа і беруть його за довільний початок А = 52.
Обчислюють відхилення (а) врожайності кожної ділянки від довільного початку і складають таблицю відхилень.
Таблиця
відхилень від А (варіант) |
Відхилення у повторно- стях, а = Х - А |
Сума за варіантами (МУ) |
||||
І |
ІІ |
ІІІ |
ІУ |
|
||
1. |
7 |
8 |
6 |
5 |
26 |
|
2. |
4 |
6 |
3 |
2 |
15 |
|
3. |
-10 |
-8 |
-9 |
-11 |
-38 |
|
Сума за повтореннями (Мр) |
1 |
6 |
0 |
-4 |
Сума за дослідом д = +3 |
|
Сума сум за повтореннями і варіантами має бути однаковою, що так і є. В обох випадках вона дорівнює 3, позначимо її д.
Всі відхилення підносять до квадрату і заносять у таблицю квадратів.
Таблиця
квадратів |
Квадрати відхилень, а2 |
Мао |
2) (М |
|||
І |
ІІ |
ІІІ |
ІУ |
|||
1 |
49 |
64 |
36 |
25 |
174 |
676 |
2 |
16 |
36 |
9 |
4 |
65 |
225 |
3 |
100 |
64 |
81 |
121 |
366 |
1444 |
Мао |
165 |
164 |
126 |
150 |
ММа2=605 |
Ми2=2345 |
Мр2 |
1 |
36 |
0 |
16 |
Мр2 =53 |
<32=9 |
Далі обчислюють коригуючий фактор С та суми квадратів всіх видів розсіювання: загального — Су, повторень — Ср, варіантів — Сю, похибки — Сг.
С _ д2/N _ 9/12 _ 0,75;
Су _ £Ма2 - С _ 605 - 0,75 _ 604,25 * 604;
Су _ XР2/І - С _ 53/3 - 0,75 _ 16,92 * 17;
Су _ £и2/п - С _ 2345/4 - 9,75 _ 585,5 * 586;
Сг = Су - Ср - Су = 604 -17 - 586 = 1.
Отримані після розрахунків дані заносять до таблиці дисперсійного аналізу
Розсіювання |
Сума квад ратів |
Число ступенів вільності |
Дисперсія 52 |
-^факт |
-^0,95 |
Загальне |
604 |
N - 1 = 12 - 1 = 11 |
|
|
|
Повторень |
17 |
п - 1 = 4 - 1 = 3 |
|
|
|
Варіантів |
586 |
і - 1 = 3 - 1 = 2 |
293 |
|
|
Помилки |
1 |
(і - 1)(п - 1) = 2-3 = 6 |
0,17 |
1724 |
5,14 |
Обчислюють число ступенів вільності — V (див. табл. дисперсійного аналізу) та дисперсію для варіантів (5^) і помилки (5|):
32 = Сі>/^ = 586/2 = 293;
5| = Сг/V г = 1/6 = 0,17.
Критерій Фішера фактичний
-Рфакт = 52/52 = 293/0,17 = 1724.
Теоретичне значення критерію Фішера знаходять за табл. 28 при числах ступенів вільності варіантів (беруть колонку з відповідним числом — у нашому прикладі VV = 2) і при числі ступенів вільності похибки V г = 6 — стрічка з числом 6 тоді
-^0,95 = 5Д4.
Роблять висновок щодо достовірності досліду за таким правилом. Якщо критерій Фішера фактичний дорівнює або більший за теоретичне значення, то дослід достовірний.
Як видно, критерій -Рфакт (1724) більший за критерій теоретичний 0^0,95 = 5 14). Отже, дослід достовірний.
Обчислюють узагальнену помилку досліду (Е) та помилки різниці (5^):
Е = 7 32 /п =^ 0,17/4 = 0,21 ц/га.
3й = Е • 1,41 = 0,21 -1,41 = 0,29 ц.
Найменшу істотну різницю (НІР) розраховують за формулою
НІР 0,95=5^0,95 = 0,29 • 2,45 = 0,7 ц/га.
Критерій І (Стьюдента) знаходять з табл. 29 за числом ступенів вільності для помилки (Vг = 6).Число ступенів вільності |
|
|
|
|
Число ступенів |
вільності для більшої дисперсії |
|
|
|
|
||||
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меншої |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
12 |
24 |
50 |
100 |
дисперсії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
161 |
200 |
216 |
225 |
230 |
234 |
237 |
239 |
241 |
242 |
244 |
249 |
252 |
253 |
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,3 |
19,33 |
19,36 |
19,37 |
19,38 |
19,39 |
19,41 |
19,45 |
19,47 |
19,49 |
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,88 |
8,84 |
8,81 |
8,78 |
8,74 |
8,64 |
8,58 |
8,56 |
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
5,91 |
5,77 |
5,70 |
5,66 |
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,78 |
4,74 |
4,68 |
4,53 |
4,44 |
4,40 |
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,27 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
4,00 |
3,84 |
3,75 |
3,71 |
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,63 |
3,57 |
3,41 |
3,32 |
3,28 |
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,34 |
3,28 |
3,12 |
3,03 |
2,98 |
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,13 |
3,07 |
2,90 |
2,80 |
2,76 |
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,97 |
2,91 |
2,74 |
2,64 |
2,59 |
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,86 |
2,79 |
2,61 |
2,50 |
2,45 |
12 |
4,75 |
3,88 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,92 |
2,85 |
2,80 |
2,76 |
2,69 |
2,50 |
2,40 |
2,35 |
13 |
4,64 |
3,80 |
3,41 |
3,18 |
3,02 |
2,92 |
2,84 |
2,77 |
2,72 |
2,67 |
2,60 |
2,42 |
2,32 |
2,26 |
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,77 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
2,53 |
2,35 |
2,24 |
2,19 |
15 |
4,54 |
3,60 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,70 |
2,64 |
2,59 |
2,55 |
2,48 |
2,29 |
2,18 |
2,12 |
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,66 |
2,59 |
2,54 |
2,49 |
2,42 |
2,24 |
2,13 |
2,07 |
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,62 |
2,55 |
2,50 |
2,45 |
2,38 |
2,19 |
2,08 |
2,02 |
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2,66 |
2,58 |
2,51 |
2,46 |
2,41 |
2,34 |
2,15 |
2,04 |
1,98 |
19 |
4,38 |
3,52 |
3,13 |
2,90 |
2,74 |
2,63 |
2,55 |
2,48 |
2,43 |
2,38 |
2,31 |
2,11 |
2,00 |
1,94 |
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,52 |
2,45 |
2,40 |
2,35 |
2,28 |
2,08 |
1,96 |
1,90 |
21 |
4,32 |
3,47 |
3,07 |
2,84 |
2,68 |
2,57 |
2,49 |
2,42 |
2,37 |
2,32 |
2,25 |
2,05 |
1,93 |
1,87 |
22 |
4,30 |
3,44 |
3,05 |
2,82 |
2,56 |
2,55 |
2,47 |
2,40 |
2,35 |
2,30 |
2,23 |
2,03 |
1,91 |
1,84 |
23 |
4,28 |
3,42 |
3,03 |
2,80 |
2,64 |
2,53 |
2,45 |
2,38 |
2,32 |
2,28 |
2,20 |
2,00 |
1,88 |
1,82 |
24 |
4,26 |
3,40 |
3,01 |
2,78 |
2,62 |
2,51 |
2,43 |
2,36 |
2,30 |
2,26 |
2,18 |
1,98 |
1,86 |
1,80 |
25 |
4,24 |
3,38 |
2,99 |
2,76 |
2,60 |
2,49 |
2,41 |
2,34 |
2,27 |
2,24 |
2,16 |
1,96 |
1,84 |
1,77 |
26 |
4,22 |
3,37 |
2,98 |
2,74 |
2,59 |
2,47 |
2,39 |
2,32 |
2,25 |
2,22 |
2,15 |
1,95 |
1,82 |
1,76 |
27 |
4,20 |
3,34 |
2,95 |
2,71 |
2,56 |
2,44 |
2,36 |
2,29 |
2,24 |
2,19 |
2,12 |
1,92 |
1,78 |
1,72 |
28 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,34 |
2,27 |
2,21 |
2,12 |
2,09 |
1,89 |
1,76 |
1,69 |
30 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2,34 |
2,25 |
2,18 |
2,12 |
2,07 |
2,02 |
1,95 |
1,,66 |
1,59 |
40 |
4,03 |
3,18 |
2,79 |
2,56 |
2,40 |
2,29 |
2,20 |
2,13 |
2,07 |
2,02 |
1,95 |
1,74 |
1,60 |
1,52 |
50 |
3,94 |
3,09 |
2,70 |
2,46 |
2,30 |
2,19 |
2,10 |
2,03 |
1,97 |
1,92 |
1,85 |
1,63 |
1,48 |
1,39 |
Таблиця
29.
Значення критерію І
на 5%-му і 1%-му рівні значущості ступенів вільності |
Рівень значущості |
Число ступенів вільності |
Рівень значущості |
||
05 |
01 |
05 |
01 |
||
1 |
12,71 |
63,66 |
18 |
2,10 |
2,88 |
2 |
4,30 |
9,93 |
19 |
2,09 |
2,86 |
3 |
3,18 |
5,84 |
20 |
2,09 |
2,85 |
4 |
2,78 |
4,60 |
21 |
2,08 |
2,83 |
5 |
2,57 |
4,03 |
22 |
2,07 |
2,82 |
6 |
2,45 |
3,71 |
23 |
2,07 |
2,81 |
7 |
2,37 |
3,50 |
24 |
2,06 |
2,80 |
8 |
2,31 |
3,36 |
25 |
2,06 |
2,79 |
9 |
2,26 |
3,25 |
26 |
2,06 |
2,78 |
10 |
2,23 |
3,17 |
27 |
2,05 |
2,77 |
11 |
2,20 |
3,11 |
28 |
2,05 |
2,76 |
12 |
2,18 |
3,06 |
29 |
2,05 |
2,76 |
13 |
2,16 |
3,01 |
30 |
2,04 |
2,75 |
14 |
2,15 |
2,98 |
50 |
2,01 |
2,68 |
15 |
2,13 |
2,95 |
100 |
1,98 |
2,63 |
16 |
2,12 |
2,92 |
— |
1,96 |
2,58 |
17 |
2,11 |
2,90 |
|
|
|
Розраховують відносну помилку досліду — 8х% :
Зх % = = 0,21-10° = о,4%.
х^ 52,3
Будують підсумкову таблицю дисперсійного аналізу
Варіанти |
X |
Різниця |
НІР0,95 |
Зх % |
1. Чорний пар |
58,5 |
— |
|
|
2. Багаторічні трави |
55,8 |
-2,7 |
0,7 |
0,4 % |
3. Кукурудза на силос |
42,5 |
-16,0 |
|
|
Користуючись правилом, якщо різниця між варіантами більша за НІР, то вона істотна (і навпаки), приходимо до висновку, що в даному досліді зниження врожаїв пшениці після багаторічних трав і кукурудзи на силос, яке становить відповідно 2,7 і 16,0 ц/га, в обох випадках істотне.
Відносна похибка, яка становить 0,4 %, свідчить про досить високу точність проведення досліду.
Запитання для контролю знань
Види польових дослідів та їх використання. 2. Основні вимоги до планування і проведення польових дослідів. 3. Методи розміщення варіантів у польовому досліді.
Розмір і форма ділянок у різних агротехнічних заходах. 5. Особливості проведення польових робіт у дослідах. 6. Основні статистичні показники дисперсійного аналізу результатів досліджень та їх використання.