Лекция 5 методы расчета напряженного состояния конструкций, применяемые в сапр Методы сопротивления материалов и строительной механики

Законы и теоремы общей механики позволяют рассчитать перемещение инженерной конструкции в пространстве. Перемещение отдельных точек конструкции относительно друг друга определяется методами математической теории упругости или сопротивления материалов — разделами общей механики. Теория упругости использует сложный математический аппарат при точ­ной постановке задачи и полном анализе процесса деформирова­ния тела. Сопротивление материалов позволяет определить проч­ность и жесткость отдельных «типичных» элементов конструк­ций, используя простые математические приемы. Термин «типич­ные» указывает на некие идеализированные элементы, к которым допустимо использовать упрощенные математические приемы.

При проектировании реальных конструкций для получения практического результата прибегают к упрощающим предполо­жениям, которые подтверждаются сопоставлением расчетных дан­ных со значениями, замеренными при проведении эксперимен­та. Составляются уравнения на базе зависимостей сопротивления материалов и дополняются коэффициентами, связывающими расчетные величины с реальными (замеренными при проведении эксперимента). Следует иметь в виду, что это сопостав­ление может распространяться на ограниченную группу конст­рукций, очень близких к экспериментальной конструкции. При создании приближенных методов расчета вместо эксперимента в настоящее время часто используют результаты численного ана­лиза, выполненного методами теории упругости. Кроме того, на общих положениях сопротивления материалов создана строитель­ная механика сооружений.

В курсе строительной механики рассматривается расчет гео­метрически неизменяемых систем (конструкций), то есть таких, перемещение отдельных точек которых возможны только в результате деформации систем. Геометрическая неизменяемость таких систем обеспечивается связями с опорами. Реакции, возникающие в опорах, вместе с заданными нагрузками представляют уравновешенную систему внешних сил, действующих на сооружение. Связи между отдельными точками (узлами) конструкции в строительной механике описываются стержнями — это элементы, воспринимающие нагрузку от сил, действующих по трем ко­ординатным осям, и моментов, действующих вокруг этих коор­динатных осей. Если этих стержней (связей) в составе геометри­чески неизменяемой конструкции больше минимально необходи­мого числа (число реакций в опорах), то она является статически неопределимой. Статически неопределимую конструкцию нельзя рассчитать с помощью уравнений статики, для этого требуется составить дополнительные уравнения ее деформации от внутрен­них силовых факторов. Если при решении этих уравнений неиз­вестные связи заменяются силами, то используется метод сил, при котором сначала находят усилия, а затем перемещения. Если при решении этих уравнений неизвестные связи заменяют упру­гими перемещениями, то используется метод перемещений.

Численные методы расчета напряженного состояния конструкции

При проектировании конструкций перед инженером-проек­тировщиком стоит задача нахождения распределения напряже­ний, или поля напряжений. Иногда, чтобы узнать, нарушаются ли заданные зазоры между деталями конструкции, требуется вы­числить перемещение лишь в определенных точках системы. В отдельных же случаях, особенно если нагрузки и поведение кон­струкции зависят от времени, проектировщику необходимо под­считать полное распределение перемещений, или поле переме­щений. Для рассчитанного поля напряжений должны выполнять­ся в каждой точке условия равновесия, а перемещения при этом должны быть непрерывны (т. е. должны выполняться условия сов­местности).

Распределение перемещений и напряжений вычисляют, ре­шая определяющие уравнения, описывающие условия равнове­сия и совместности. Основная трудность — это использование уравнений, адекватно отражающих выставляемые при проекти­ровании требования к конструкции, не говоря уже об их разре­шимости при принятой геометрии конструкции, характере на­грузок и свойств материала. Для трехмерных объектов — это уравнения с частными производными. Точные решения подоб­ных уравнений редки и выполняются приближенно какими-ли­бо методами аппроксимации.

Используются конечно-разностные методы, в которых дифференциальные уравнения аппроксимируются с помощью дис­кретных значений величин, заданных в выбранных точках. Воз­никающие в этих методах алгебраические уравнения, которые не­обходимо численно решить, часто имеют особенно простой вид, а имеющиеся теоремы сходимости позволяют быстро их решать. Од­нако задание этих дискретных величин — задача аналитическая.

Метод конечных элементов (МКЭ) является аналитической процедурой. При этом сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на области (конечные элемен­ты), в каждой из которых поведение среды описывается с по­мощью отдельного набора заданных функций, представляющих напряжения и перемещения в указанной области. Эти функции задаются в такой форме, чтобы удовлетворить условиям непре­рывности описываемых ими характеристик во всей среде (в от­дельных случаях они не обеспечивают непрерывности, но по­зволяют получить удовлетворительное решение).

Если поведение конструкции описывается единственным дифференциальным уравнением, то получить приближенное реше­ние этого уравнения можно как МКЭ, так и с помощью техники разложения в ряды или конечно-разностных схем. Если же кон­струкция в целом неоднородна и состоит из большого количест­ва отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно непосредственно применить лишь МКЭ.

Наряду с указанными альтернативными методиками числен­ного решения прикладных задач механики конструкций в мето­де конечных элементов требуется строить и решать систему ал­гебраических уравнений. Особые преимущества метода заклю­чаются в удобстве формирования уравнений и возможности пред­ставления совершенно нерегулярных и сложных конструкций и условий нагружения.