Введение в метод конечных элементов Терминология, обозначения, определения

В системе ИСПА используется ряд понятий, терминов и обо­значений, которые мы считаем нужным конкретизировать или определить.

УЗЛЫ — это точки, используемые для описания геометрии макро- и конечных элементов. Различают узлы, лежа­щие в вершинах (углах) конечных элементов, и промежуточные узлы, лежащие на ребрах элементов и задающие их форму. Координаты узлов задаются в глобальной системе координат. Каждый узел имеет порядковый номер.

КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ (КЭ) - малая область тела в совокупности с заданными в ней функциями формы.

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ (КЭМ) - набор КЭ, описывающих геометрию моделируемого объекта. КЭМ получается в результате либо автоматического, либо ручного раз­биения макроэлементов на конечные элементы.

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ. В статике и в динамике под степенью свободы узла понимается возможное перемещение узла относительно глобальной системы координат — линейные вдоль трех осей и повороты вокруг этих же осей. При решении тепловой задачи под степенью свободы узла понимается темпера­тура в узле.

СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ - внешнее нагружение на модель, приведенное к отдельным узлам. Всего 6 факторов — линейные усилия вдоль трех осей и моменты вокруг этих же осей.

СЕТКА — список конечных элементов. На этапе создания модели элементы объединяют в сетки таким образом, чтобы обеспечить возможность визуализации выбранно­го конструктивного элемента КЭМ.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. Запрещение перемещения по указанной степени свободы. Например, заделка соответствует запрещению всех шести степеней свободы.

Этапы практической реализации мкэ

1. Создание модели конструкции.

2. Создание геометрической модели специально для МКЭ.

3. Модель разбивается на сетку конечных элементов.

4. К модели прикладываются граничные условия (силы, закрепления на границах).

5. Решение программой системы уравнений.

6. Анализ решения (человеком).

В реальных конструкциях почти всегда присутствуй сложные формы, состоящие к тому же из различных материалов. В качестве примера рассмотрим задачу, представленную на рис. 1. Рассчитать распределение напряжений в кронштейне (рис. 1) при помощи аналитических методов крайне сложно. Если же кронштейн изготовлен из композитного материала со сложными свойствами, задача становится практически неразрешимой. Непреодолимые затруднения возникают и при попытке вывести аналитическое выражение для распределения температур в объекте рис. 1.

Метод конечных элементов является наиболее популярным численным методом решения таких задач. Универсальность этого метода удовлетворяет требованиям современных сложных систем конструирования, для которых обычно отсутствуют замкнутые решения уравнений равновесия. Анализ методом конечных элементов начинается с аппроксимации исследуемой области (области задачи) и делении ее на ячейки сетки. На рис. 2 по углам каждой ячейки находятся узлы (черные точки). Такие ячейки и называются конечными элементами. На рис. 2 представлены аппроксимации объектов с рис. 1 наборами конечных элементом (треугольных и четырехугольных).

Рис. 1 Задача, не имеющая аналитического решения

Рис. 2 Аппроксимации объектов конечными элементами

В этом примере мы аппроксимировали исходный объект треугольниками и четырехугольниками, однако возможны и конечные элементы других типов. Выбор элементов определяется областью задачи, ее типом, а также конкретным пакетом анализ. Общее правило состоит в том, что чем больше количество узлов и элементов или чем выше степень функции формы, тем точнее оказывается решение, но тем дороже оно стоит с вычислительной точки зрения (т.е. затрачивается больше времени).

После аппроксимации исходного объекта конечными элементами с должным количеством узлов каждому узлу сопоставляется неизвестная величина, которая ищется в процессе решения задачи. Например, для рис.2 неизвестными были бы смещения узлов по координатам х и у. Отсюда следует, что у каждого узда будет две степени свободы, а у задачи в целом будет 2n степеней свободы, если число узлов равно n. После вычисления смещений программа может перейти к расчету деформации как частных производных от функции смешения, а по деформациям рассчитываются напряжения.

Аппроксимировав область задачи набором дискретных конечных элементов, мы должны задать характеристики материала и граничные условия для каждого элемента. Указав различные характеристики для разных элементов, мы можем анализировать поведение объекта, состоящего из разных материалов. Граничные условия (смешение, внешняя сила или температура) обычно задаются на внешней границе объекта. После задания граничных условий для веса внешних узлов программа конечноэлементного анализа формирует систему уравнений, связывающую граничные условия с неизвестными (смещениями или температурой в узлах), после чего решает эту систему относительно неизвестных.

После нахождения значений неизвестных пользователь получает возможность рассчитать значение любого параметра в любой точке любого конечного элемента. Выходные данные программы анализа методом конечных элементов обычно представляются в числовой форме. В задачах механики твердых тел выходными данными являются смещения и напряжения. В задачах на теплоперенос выходными данными являются температуры и тепловые потоки через конкретные элементы. Однако по числовым данным пользователю бывает затруднительно получить общее представление о поведении соответствующих параметров. Графические изображения обычно более информативны, поскольку дают возможность изучить поведение параметров на всей области задачи. Анализ поведения параметров может приводиться при помощи построцессора, который строит кривые и контурные графики переменных по данным программы конечноэлементного анализа. Дли задач строительной механики возможно отображение деформированных тел вместе с недеформированными. В этой области для систем автоматизированного конструирования очень важными становятся функции компьютерной графики.

К преимуществам метода конечных элементов относится возможность работы с телами произвольной геометрии и неоднородны материалами. Однако суть метода состоит в делении области задачи на набор конечных элементов и поиске наилучшего решения, непрерывного «внутри» элементов, но имеющего возможность претерпевать скачки на их границах. Например, деформация на границе конечных элементов кронштейна (рис. 2), может испытывать скачок, невозможный с точки зрения физики (погрешность расчета).