3.3. Системы случайных величин
Система двух
случайных величин
полностью описывается двумерным законом
распределения, обычно задаваемым в
одной из трех форм.
1. Ряд распределения. Для системы двух дискретных случайных величин закон распределения удобно задавать в виде прямоугольной таблицы, где по одной стороне откладываются возможные значения одной переменной, по другой - значения второй переменной, а в соответствующих клетках на пересечении столбцов и строк заносятся вероятности совместного появления событий (табл.3.1).
Таблица 3.1
Ряд распределения системы двух дискретных величин
-
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Здесь
.
2.
Функция
распределения
системы двух случайных величин
- это вероятность совместного выполнения
двух неравенств
и
:
.
Геометрически
функция
есть вероятность попадания случайной
точки
в бесконечный квадрант с вершиной в
точке
,
лежащий левее и ниже значения
.
Аналогично, как
частный случай, функция распределения
одной случайной величины
есть вероятность попадания случайной
точки в полуплоскость, ограниченную
справа абсциссой x.
Функция
есть вероятность попадания точки
в полуплоскость,
ограниченную сверху ординатой
.
Свойства функции
:
а)
есть неубывающая функция обоих своих
аргументов, т.е. при
;
при
.
б)
.
в)
,
т.е. при одном из аргументов, равном +¥,
функция распределения системы превращается
в функцию распределения одной СВ,
соответствующей другому аргументу.
г)
.
д) Вероятность
попадания случайной точки
в прямоугольник
,
ограниченный абсциссами a
и b
и ординатами c
и
d,
определяется через
по соотношению
.
3. Плотность распределения системы двух СВ представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю. Она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам:
.
Элементом
вероятности
называется выражение
.
Это вероятность попадания случайной
точки
в элементарный прямоугольник со сторонами
,
,
примыкающий к точке
.
Эта вероятность равна объему элементарного
параллелепипеда, ограниченного сверху
поверхностью
и опирающегося на элементарный
прямоугольник
.
Вероятность
попадания случайной точки в произвольную
область
может быть получена суммированием
(интегрированием) элементов вероятности
по всей области
:
.
Геометрически вероятность попадания в область изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область . В частности, вероятность попадания случайной точки в прямоугольник , ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, выражается зависимостью:
.
Функция распределения выражается через функцию плотности соотношением:
.
Основные свойства плотности распределения системы :
Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему (маргинальные законы распределения).
Ранее получили:
.
Так как
,
то, дифференцируя последнее выражение
по x,
будем иметь:
.
Аналогично,
.
Зная
,
легко определяются
и
.
Наоборот - труднее, так как надо знать
условные законы распределения.
Условным законом распределения величины X, входящей в систему , называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y. Зная закон распределения одной из величин и условный закон распределения другой, можно составить закон распределения системы.
Теорема умножения
законов распределения:
.
Аналогично:
.
Условные законы распределения можно определить через безусловные:
;
.
Случайная величина
называется независимой
от случайной величины
,
если закон распределения величины
не зависит от того, какое значение
приняла величина
.
Для непрерывных
случайных величин условие
независимости
от
может быть записано в виде:
при
любом у.
Если
зависит от
,
то
.
Зависимость или независимость случайных
величин всегда взаимны: если величина
не зависит от
,
то и величина
не зависит от
.
Случайные величины и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины и называются зависимыми.
Для независимых
непрерывных случайных величин теорема
умножения законов распределения
принимает вид:
,
т.е. плотность распределения системы
независимых случайных величин равна
произведению плотностей распределения
отдельных величин, входящих в систему.
Это условие может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Начальным моментом
порядка
системы
называется математическое ожидание
произведения
на
:
Центральным
моментом порядка
системы
называется математическое ожидание
произведения
-й
и
s-й
степеней соответствующих центрированных
величин:
Для дискретных случайных величин начальные и центральные моменты вычисляются, соответственно, по формулам:
;
где
-
вероятность того, что система
примет значения
,
а суммирование распространяется по
всем возможным значениям случайных
величин
,
.
Для непрерывных случайных величин:
;
,
где
- плотность распределения системы
.
Очевидно, что
;
.
Совокупность
математических ожиданий
и
представляет собой характеристику
положения центра системы
.
Геометрически это координаты средней
точки на плоскости (центр тяжести),
вокруг которой происходит рассеяние
всех точек
.
Дисперсии
величин Х
и Y
характеризуют рассеяние случайной
точки в направлении осей
и
:
.
.
Особую роль как
характеристики системы играет второй
смешанный центральный момент
,
т.е. математическое ожидание произведения
центрированных величин.
Это ковариационный момент (т.е. момент связи, корреляционный момент) случайных величин , . Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой:
а для непрерывных
.
Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеяния величин и , еще и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.
Корреляционный
момент характеризует не только зависимость
величин, но и их рассеяние. Поэтому для
характеристики степени тесноты связи
между величинами
в чистом виде переходят от момента
к безразмерной характеристике
,
где
- средние квадратические отклонения
величин
и
.
Эта характеристика называется
коэффициентом
корреляции
величин
и
.
Две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Обратное верно не всегда. Равенство нулю коэффициента корреляции (корреляционного момента) есть необходимое, но недостаточное условие независимости случайных величин.
Условие независимости случайных величин - более жесткое, чем условие некоррелированности. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты только линейной зависимости между случайными величинами.
Свойства коэффициента корреляции:
,
где
-
константы;
Минимальное число
характеристик, с помощью которых может
быть охарактеризована система
n
случайных величин
,
сводится к следующему: n
математических
ожиданий
,
характеризующих средние значения
величин; n
дисперсий
,
характеризующих их рассеяние;
корреляционных моментов
,
характеризующих попарную корреляцию
всех величин, входящих в систему.
Дисперсия
каждой из случайных величин
есть частный случай корреляционного
момента, а именно, корреляционный момент
величины
и той же величины
:
.
Все корреляционные моменты и дисперсии удобно располагать в виде симметричной по отношению к главной диагонали квадратной корреляционной матрицы случайных величин :
, где
;
В целях наглядности
суждения именно о коррелированности
случайных величин безотносительно к
их рассеиванию часто пользуются
нормированной корреляционной матрицей
,
составленной из коэффициентов корреляции
;
.
Плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой:
Этот закон зависит
от пяти параметров:
.
Параметры
представляют собой математические
ожидания (центры рассеивания) величин
и
;
-
их средние квадратические отклонения;
- коэффициент корреляции величин
и
.
Если
и
не коррелированы, то
Для системы СВ, подчиненных нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость.
Термины "некоррелированные" и "независимые" величины для случая нормального распределения эквивалентны.
Условный закон двухмерного нормального распределения:
Очевидно, что
последнее выражение есть плотность
нормального закона с центром рассеяния
и средним квадратическим отклонением
Из последних формул
следует, что в условном законе распределения
величины
при фиксированном
от этого значения зависит только условное
математическое ожидание
,
но не дисперсия.
Прямая
называется линией
регрессии
на
.
Аналогично прямая
есть линия регрессии
на
.