53

Лекции № 4-5

3. Вероятностно-статистические модели

3.1. Модели случайных событий

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз по иному.

Случайное событие - это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Для количественного сравнения событий между собой по степени их возможности используют понятие вероятности события.

Вероятность случайного события - это численная мера степени объективной возможности наступления этого события.

Достоверным называется событие, которое в результате опыта непременно должно произойти. Здесь . Невозможным называется событие, которое в результате опыта не может произойти: . Вероятность любого события заключается между нулем и единицей: .

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта должно появиться хотя бы одно из них. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. Несколько событий называются в данном опыте равновозможными, если объективная возможность их появления одинакова.

Если события в данном опыте несовместны, равновозможны и образуют полную группу, то они называются случаями или шансами. При этом вероятность события равна отношению числа m случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев n:

При решении геометрических задач вероятность того или иного события определяется отношением геометрического размера (длины, площади, объема, угла и т.п.), благоприятствующего появлению рассматриваемого события, к общему размеру.

Непосредственный расчет вероятности по указанной выше формуле в случае симметрии возможных исходов часто включает элементы комбинаторики.

Размещением из n элементов по m называется упорядоченная выборка элементов. Если среди n элементов все различные, то число размещений из n элементов по m определяется соотношением:

Размещениями с повторениями называют упорядоченные последовательности, составленные из n элементов по m, где некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми. Число размещений с повторениями из n элементов по m определяется соотношением .

При m = n размещения называются перестановками, т.е. различные перестановки отличаются только порядком элементов. Число перестановок из n элементов определяется формулой

Сочетанием из n элементов по m называется выборка m элементов без учета их порядка, т.е. различные выборки отличаются самими элементами.

Если среди n элементов все различные, то число сочетаний определяется соотношением Отметим, что .

Последним свойством удобно пользоваться, когда .

Количество различных способов разбиения n элементов на m групп с числом элементов в -й группе (перестановки с повторениями) определяется по формуле

.

Пусть n -элементное множество является суммой множеств , число элементов которых равно соответственно , И пусть - m-элементное подмножество множества , содержащее элементов из , элементов из , ..., элементов из . Число способов, которыми можно выбрать такое множество В из А (множества неупорядоченные), равно .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Событие A называется независимым от события В, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Если событие A не зависит от события В, то и событие В не зависит от события A.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается .

Условие независимости события A от события В можно записать в виде , а условие зависимости соотношением .

Событие называется противоположным событию A, если оно состоит в непоявлении события A.

Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется зависимостью

где суммы распространяются на различные сочетания индексов и т.д.

В частном случае, вероятность суммы двух совместных событий , где - произведение событий и .

В общем случае для несовместных событий имеем соотношение

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: .

Для двух независимых событий имеем .

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Если об обстановке (условиях) опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) и если событие может появиться только с одной из этих гипотез, то вычисляется по формуле полной вероятности

где - вероятность гипотезы ;

- условная вероятность события A при гипотезе .

Если до опыта вероятности гипотез были , а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого факта условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятности гипотез с учетом полученного результата опыта. Если после опыта, заканчивающегося появлением события A, производится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться событие , то условная вероятность этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез , а новые :

Опыты называются независимыми, если вероятность исхода (результата) каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут проводиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-то события A во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.

Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью может появиться событие A, то вероятность того, что событие A произойдет в этих n опытах ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Это биномиальное распределение вероятностей.

Вероятность хотя бы одного появления события A в n независимых опытах в одинаковых условиях равна

.

Если производится n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность события А в опыте равна , то вероятность того, что событие появится в этих n опытах ровно раз, равна коэффициенту при в разложении по степеням производящей (вычислительной, вспомогательной) функции .

Вероятность хотя бы одного появления события A в n независимых опытах в различных условиях равна .

Для любых условий опыта .

Вероятность того, что в n опытах событие А появится не менее раз, выражается формулой: .

Наивероятнейшее число наступлений события А в серии из n опытов удовлетворяет неравенствам . 3десь - вероятность наступления события А в одном опыте.

Число называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях, если при .

Если не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение . Если же целое число, то имеются два наивероятнейших значения: .

Отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов, называется частотой события А или его статистической вероятностью .