25

Лекции № 2-3

2. Балансовые модели

2.1. Особенности и характеристики балансовой модели

Балансовая модель производства является одной из наиболее простых моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между производимым отдельным экономическим объектом количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. Балансовая модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко рассчитывается на ЭВМ. При балансовых исследованиях используется аппарат линейной алгебры.

Пусть экономическая система состоит из n экономически взаимосвязанных объектов. Продукция каждого объекта (валовый выпуск) частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется объектами данной экономической системы. Эта часть продукции называется производственным потреблением. Таким образом, каждый объект системы выступает и как производитель продукции, и как ее потребитель.

Введем следующие обозначения:

- валовый выпуск продукции i-го объекта за планируемый период;

- конечный продукт i-го объекта, идущий на внешнее потребление;

-часть продукции i-го объекта, которая потребляется -м объектом для обеспечения выпуска его продукции в размере .

В дальнейшем будем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном измерении.

Для рассматриваемой экономической системы величины выступают в виде планового задания. Составить план для данной экономической системы – это значит на основании набора n чисел заданий указать чисел .

Таблица 2.1 представляет собой балансовую таблицу.

Очевидно, величины, расположенные в строках табл.2.1, связанны балансовыми равенствами

; ( ). (2.1)

Введем в рассмотрение величины , которые называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют расход продукции i-го объекта на выпуск единицы продукции -го объекта. Тогда справедливо равенство

; . (2.2)

Таблица 2.1

Структура балансовой таблицы

Номер объекта		Потребление						Конечный продукт	Валовый выпуск
		1	2	. . .		. . .
	1			. . .		. . .
	2			. . .		. . .
Произ-	...	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
водство				. . .		. . .
	...	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
				. . .		. . .

Приближенно можно полагать, что коэффициенты постоянны в некотором промежутке времени, охватывающем как истекший, так и планируемый периоды. Поэтому они могут быть вычислены по формуле , где и - данные, относящиеся к истекшему периоду.

Пусть теперь известны коэффициенты прямых затрат для всех объектов экономической системы. Эти данные могут быть записанные в виде матрицы ,

которая называется матрицей коэффициентов прямых затрат.

Важной особенностью матрицы является неотрицательность ее коэффициентов, т.е. .

На основании выражения (2.2) систему уравнений (2.1) перепишем в виде

; (2.3)

или в матричной форме , (2.4)

где - единичная матрица n-го порядка; ; .

Система уравнений (2.3) представляет собой систему уравнений балансовой модели.

При решении балансовых уравнений будем исходить из заданного вектора , который называется ассортиментным, и определять необходимый для его производства вектор , называемый вектором-планом.

При исследовании системы (2.3) возникает вопрос о существовании при заданном векторе неотрицательного решения , т.е. о существовании вектора-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечной продукции.

Можно доказать, что если существует хотя бы один неотрицательный вектор , удовлетворяющий неравенству , т.е. если уравнение (2.4) имеет неотрицательное решение хотя бы для одного , то оно имеет для любого единственное неотрицательное решение. То есть, если для предшествующего периода равенство (2.4) выполняется, где и определяются по исполненному балансу за прошлые период, при этом , то оно всегда имеет допустимый план и матрица имеет обратную матрицу (неотрицательную).

Обозначив обратную матрицу через , запишем решение уравнения (2.4) в виде

= . (2.5)

Таким образом, задавая ассортиментный вектор Y, по формуле (2.5) можем определить вектор-план X.

Для уяснения экономического смысла матрицы коэффициентов полных затрат рассмотрим частный вид вектора , соответствующий такому значению, при котором объект j должен выдавать одну единицу конечной продукции, а все остальные объекты выпускать конечную продукцию не должны, т.е.

.

Тогда согласно формуле (2.5) получим

. (2.6)

Соотношение (2.6) вскрывает экономический смысл элементов матрицы : элемент равен количеству продукции, которое должен выпустить объект i для того, чтобы объект мог выпустить одну единицу конечной продукции (а не полного выпуска). В связи с этим элементы называют коэффициентами полных затрат, а матрица - матрицей коэффициентов полных затрат.

Коэффициенты полных затрат всегда не меньше, а могут быть и существенно больше соответствующих коэффициентов прямых затрат , поскольку коэффициент указывает не только непосредственные поставки продукции i-го объекта j-му объекту, но и поставки продукции i-го объекта другим объектам для того, чтобы эти объекты в свою очередь могли поставить j-му объекту требуемое количество их продукции.