Завдання 31-40.

Задача 4. Задано координати вершин трикутника АВС. Знайти: 1) рівняння та довжини сторін трикутника; 2) внутрішній кут А; 3) координати точки перетину медіан; 4) рівняння та довжину висоти, яка проведена з вершини В; 5) рівняння прямої, яка проведена з вершини С паралельно до сторони АВ. Зробити рисунок.

А(1; 2), В(2; –2), С(6; 1).

Розв’язання.

1) Рівняння сторін трикутника знайдемо за формулою прямої, яка проходить через дві точки та :

.

(АВ): або .

(АС): або .

(ВС): або .

Довжини сторін знайдемо як відстань між двома точками та за формулою:

.

|AB| лін. од.,

|AС| лін. од.,

|BС| лін. од.

2) внутрішній кут А знайдемо за формулою , тобто перша пряма – це пряма, яку треба повернути проти годинникової стрілки на потрібний кут до її суміщення з другою прямою, та – кутові коефіцієнти цих прямих. Якщо пряма задана загальним рівнянням , то кутовий коефіцієнт визначається за формулою .

Побудуємо трикутник (рис. 2).

Рис. 2.

Внутрішній кут А утворюється при переміщенні сторони АВ до сторони АС проти годинникової стрілки. Тому АВ – перша пряма, а АС – друга. Маємо .

.

3) Три медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться в відношенні 2:1, рахуючи від вершини кута. Таким чином, ми можемо брати будь-яку медіану, наприклад АМ. Точка перетину медіан (точка К) ділить медіану АМ в відношенні .

Координати точки , яка ділить відрізок у відношенні , знаходяться за формулами:

.

Якщо точка – середина відрізка , то:

.

В нашому випадку маємо

.

;

.

Таким чином маємо .

4) Якщо дві прямі взаємно перпендикулярні, то . Звідси Рівняння в’язки прямих, які проходять через точку , має вигляд:

.

Напишемо рівняння в’язки прямих, проведених через точку В:

.

Висота , яка проведена з вершини В, перпендикулярна до АС. Тому і рівняння висоти буде , або .

Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою

.

Довжина висоти – це відстань від вершини В до сторони АС. Тому довжина висоти

лін. од.

5) Якщо прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні: . Напишемо рівняння в’язки прямих, які проходять через точку С(6; 1):

.

Виберемо з цієї в’язки пряму, паралельну до прямої АВ. Внаслідок їх паралельності .

Отже остаточно маємо

, або .

2. Побудова ліній в полярній системі координат Завдання41-50 Якщо лінію задано в полярній системі координат рівнянням

r=f(), (5)

то побудувати її можна за точками, задаючи значення полярного кута  і знаходячи відповідне значення полярного радіуса r за рівнянням лінії (5).

Задача 5. Дано лінію своїм рівнянням в полярній системі координат

.

Треба: 1) побудувати лінію за точками, надаючи  значень через проміжок , починаючи з =0 до =2;

2) знайти рівняння даної лінії в прямокутній декартовій системі координат, в якої початок співпадає з полюсом, а додатна піввісь абсцис – з полярною віссю;

3) з одержаного рівняння визначити, що це за лінія.

Розв’язання. 1) Будемо задавати значення полярного кута , починаючи з =0, до =2 через проміжок та знайдемо відповідні значення полярного радіуса r по заданому рівнянню лінії. Отримаємо наступну числову таблицю

	0		2	3	4	5	6	7	8
r	1	0.839	0.739	0.684	0.667	0.684	0.739	0.839	1

	9	10	11	12	13	14	15	16
r	1.237	1.547	1.859	2	1.859	1.546	1.237	1

Побудуємо полярну систему координат і в ній точки А(, r): А₁(0,1); А₂( ;0,839), А₃( ;0,739), А₄( ) і т.д. Побудовані точки з’єднуємо лінією, одержимо криву, що задана рівнянням , зображену на рис. 3.