Розв’язання.

Вектори утворюють базис, якщо визначник 3-го порядку із координат цих векторів не дорівнює нулю. Обчислимо цей визначник:

Отже , тому вектори утворюють базис. За цим базисом можна розкласти вектор за формулою

,

яка в координатній формі має вигляд

Визначник цієї системи не дорівнює нулю, тому її розв’язання можна знайти за формулами Крамера:

.

Обчислимо потрібні визначники:

;

;

.

Тепер знайдемо . Таким чином, вектор у базисі має координати .

Завдання 21-30.

В аналітичній геометрії широке застосування має векторна алгебра: такі поняття як алгебраїчна сума векторів, добуток вектора і скаляра, скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, а також формули, які можуть бути отримані за допомогою цих понять.

Задача 3. Дано координати вершин піраміди А₁(1, 2, 3), А₂(-2, 4, 1), А₃(7, 6, 5), А₄(4, -3, -1). Треба знайти:

1) довжину ребра А₁А₂;

2) кут між ребрами А₁А₂ та А₁А₄;

3) кут між ребром А₁А₄ та гранню А₁А₂А₃;

4) площу грані А₁А₂А₃;

5) об’єм піраміди;

6) рівняння прямої А₁А₂;

7) рівняння площини А₁А₂А₃;

8) рівняння висоти, проведеної з вершини А₄ на грань А₁А₂А₃.

Зробити рисунок.

Розв’язання. Побудуємо піраміду за заданими координатами її вершин в прямокутній системі координат. Розв’язувати задачу будемо засобами векторної алгебри. Використаємо формулу розвинення вектора за ортонормованим базисом або за ортами.

,

де - одиничні взаємно перпендикулярні вектори, які направлені по відповідним координатним осям – орти, а x, y, z – проекції вектора на відповідні координатні осі. Якщо початок вектора співпадає з початком координат, то числа x, y, z трактуються як координати кінця вектора.

1. Довжину ребра А₁А₂ знайдемо як довжину вектора за формулою:

. (1)

Але допоміжні вектори, які мають початок в початку координат, а кінець в заданих точках А₁(1,2,3) та А₂(-2,4,1) розкладаються за ортами

Тепер знайдемо розкладання вектора .

, або

.

Довжина цього вектора знаходиться за формулою (1):

(лін. од).

2. Кут між ребрами А₁А₂ та А₁А₄ знайдемо як кут між вектором та за формулою

, (2)

де =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ – скалярний добуток векторів, а | || | – добуток їх довжин, якщо вектори задано проекціями.

.

Проекції вектора вже знайдено в попередньому пункті:

={–3,2,–2}. Аналогічно знайдемо ={3,–5,–4}. Тоді, підставляючи значення проекцій векторів в формулу (2), отримаємо

,

3) кут між ребром А₁А₄ та гранню А₁А₂А₃ знайдемо як кут між вектором та площиною А₁А₂А₃ за формулою

, (3)

де – вектор, що перпендикулярний до площини А₁А₂А₃, його знайдемо як векторний добуток векторів ={x₁,y₁,z₁} та ={x₃,y₃,z₃} за формулою

(4)

Проекції вектора вже знайдені в першому пункті. Аналогічно знаходимо проекції вектора ={6,4,2}. Тепер за формулою (4) знаходимо проекції вектора ={A,B,C}:

,

або .

Нарешті, знаючи проекції векторів та ={3,-5,-4}, за допомогою формули (3) знаходимо шуканий кут

=arcsin .

4. Площа грані А₁А₂А₃ знаходиться як площа трикутника, побудованого на векторах ={3,2,-2} та ={6,4,2}, за допомогою векторного добутку цих векторів за формулою

.

Векторний добуток х вже знайдено в попередньому пункті за допомогою формули (5), залишилось обчислити половину довжини цього векторного добутку

(кв. од.).

5) Об’єм піраміди дорівнює шостій частині абсолютного значення мі-шаного добутку векторів ={-3, 2, -2}, ={6, 4, 2}, ={3, -5, -4}, на яких побудована піраміда, і визначається формулою

.

Підставивши в цю формулу значення проекцій векторів, будемо мати

, V=27 куб. од.

6) Рівняння прямої А₁А₂ знайдемо за формулою

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А₁(1,2,3) та А₂(–2,4,1). Підставимо в наведену формулу замість x₁,y₁,z₁ та x₂,y₂,z₂ – координати точок A₁ та A₂

.

Звідси отримуємо канонічні рівняння прямої А₁А_2.

.

Тут x,y,z – змінні координати прямої; (1,2,3) – координати точки, через яку проходить пряма; {-3,2,-2} – направляючі коефіцієнти прямої, тобто проекції вектора, який визначає напрям прямої.

7) Складемо рівняння площини А_1,А₂,А₃, скориставшись рівнянням в’язки площин

А(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0.

Тут x,y,z – змінні координати площини; x₁,y₁,z₁ – координати точки, через яку проходить площина, це можуть бути, скажімо, координати точки A₁(1,2,3); {A,B,C} – проекції вектора , перпендикулярного до площини. В пункті 3) цей вектор знайдено, ={12,–6,–24}.

Залишилось підставити координати точки А₁ та проекції вектора в рівняння в’язки площин. Одержимо

12(x-1)-6(y-2)-24(z-3)=0;

або після спрощення

2х–y–4z+12=0.

8) Нарешті, знайдемо рівняння висоти, опущеної з вершини А₄(4,-3,-1) на грань А₁А₂А₃, рівняння якої складено в попередньому пункті.

Скористаємося канонічними рівняннями прямої

,

де (a,b,c) – координати точки, через яку проходить пряма; m,n,p – направляючі коефіцієнти прямої, тобто проекції вектора {m,n,p}, паралельного прямій.

За (a,b,c) візьмемо координати точки А₄(4,–3,–1). За проекції m, n, p направляючого вектора прямої можемо взяти коефіцієнти А, В, С в рівнянні площини А₁,А₂,А₃, тобто : m=2, n=–1, p=–4.

Підставляючи ці значення m,n,p, а також координати точки А₄ в канонічні рівняння прямої, одержимо шукане рівняння висоти піраміди, опущеної з вершини А₄(4,–3,–1) на грань А₁А₂А₃:

.