7. Линейные, неоднородные уравнения второго порядка

[2, гл.ХШ, § 23,24, упр. 148-157].

Пример 7. Найти общее решение уравнения

Решение. Находим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение Его корни

Общее решение однородного уравнения

Теперь следует найти частное решение неоднородного уравнения. Правая часть значит ищем в форме , т.к. не является корнем характеристического уравнения.

Требуется найти неизвестные коэффициенты А и В. Для определения А и В дифференцируем дважды

и подставляем это в данное неоднородное уравнение:

Так как то сократив , получим тождественное равенство двух полиномов

Значения А и В найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях

при х :

при х⁰:

Подставляем найденные А и В в

Общее решение неоднородного уравнения

Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение. Соответствующее однородное уравнение

Решаем его

Правая часть данного неоднородного уравнения

Следовательно, частное решение разыскиваем в виде

,

т.к. не является решением характеристического уравнения.

Дифференцируем и подставляем это решение в неоднородное уравнение

Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях тождества

при

при

Из этой системы находим А и В

Общее решение

Пример 9. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, необходимо получить сначала общее решение данного неоднородного уравнения. Находим его (см. пример 8)

Подставляем в уравнение

Искомое частное решение будем находить из общего. Общее решение неоднородного уравнения

Подставляем начальные условия. При имеем

Найденные постоянные подставляем в общее решение неоднородного уравнения

• искомое частное решение.

Тема 2. Ряды

1. Основные определения

[2, гл. ХVI, § 1, 2, упр. 1-5].

2. Признаки сходимости рядов с положительными членами

[2, гл. XVI, § 3 - 6, упр. 6-18].

Пример. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Для этого ряда Используем признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами (напомним, что , те. 2!=1∙2, 3!=1∙2∙3 и т.д.)

Найдем отношение

Зная, что вычислим

< 1.

Так как < 1, то ряд сходится.

3. Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды

[2, гл. XVI, § 7,8, упр. 20-26].

Пример. Исследовать сходимость ряда

,

По теореме Лейбница ряд сходится, если выполнены два условия:

1) >

2)

Проверим, выполнены ли эти условия для нашего ряда

< >

Первое условие выполнено.

Второе условие выполнено, следовательно, ряд сходится условно.

Проверим, есть ли абсолютная сходимость, т.е. сходится ли ряд.

Используем признак сравнения сходимости рядов с положительными членами и сравним наш ряд с гармоническим рядом , который расходится.

> ряд тоже расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно не сходится, а сходится только условно.