Майбутня вартість термінового ануїтету постнумерандо

Потік платежів, усі члени якого позитивні величини, а часові інтервали між двома послідовними платежами постійні, називають фінансовою рентою або ануїтетом.

Для оцінки руху фінансових потоків у часі застосовують різні формули фінансової математики, у тому числі і розрахунок майбутньої вартості термінового ануїтету постнумерандо.

Сутність розрахунку полягає в тому, що грошовий потік, що складається з однакових за величиною виплат і існує певний час, можна перерахувати в майбутню вартість, склавши всі нарощені виплати з врахуванням умови постнумерандо (рис 4).

Формула майбутньої вартості термінового ануїтету постнумерандо:

д

Грн

е FV - майбутня вартість; A - величина рівномірного вкладу; r - процентна ставка; n - кількість років.

Роки

Рис. 4. Графік майбутньої вартості

термінового ануїтету постнумерандо;

кінцеві вартості за щорічних вкладів 1000 грн

і ставки позикового процента 4, 12, 20, 28% річних

Приклад. Необхідно розрахувати майбутню вартість термінового ануїтету для 100 грн щорічних виплат, ставки 12% протягом 5 років за схемою постнумерандо.

FV = 100 ∙ ( (1 + 0,12)5 + (1 + 0,12)4 + (1 + 0,12)3 + (1 + 0,12)2 + (1 + 0,12)) = 635 грн.

Запланована сума за наведених вище умов складе 635грн.

Майбутня вартість термінового ануїтету пренумерандо

Для оцінки руху фінансових потоків в часі застосовують різні формули фінансової математики, у тому числі і розрахунок майбутньої вартості термінового ануїтету пренумерандо.

Сутність розрахунку полягає в тому, що грошовий потік, що складається з однакових по величині виплат і існує певний час, можна перерахувати в майбутню вартість, склавши всі нарощені виплати з урахуванням умови пренумерандо (рис 5).

Формула приведеної вартості термінового ануїтету пренумерандо:

д

Грн

е FV - майбутня вартість; A - величина рівномірного вкладу; r - процентна ставка; n - кількість років.

Роки

Рис. 5. Графік майбутньої вартості

термінового ануїтету пренумерандо;

кінцеві вартості за щорічних вкладів 1000 грн

і ставки позикового процента 4, 12, 20, 28% річних

Приклад. Необхідно розрахувати майбутню вартість термінового ануїтету для 100 грн щорічних виплат, ставки 12% протягом 5 років за схемою пренумерандо.

FV = 100 ∙ (1 + 0,12) ∙ ( (1 + 0,12)5 + (1 + 0,12)4 + (1 + 0,12)3 +... +(1 + 0,12) 2 + (1 + 0,12)) = 711,51 грн.

Приклади розв’язання задач до теми

Завдання на розрахунок майбутньої вартості термінового

ануїтету постнумерандо

1. Розрахуйте майбутню вартість термінового ануїтету постнумерандо за умови, що величина рівномірного вкладення складає 3000 грн на рік, процентна ставка 12,33% і термін 4 роки.

Розв’язання: FV = 3000 ∙ Σ (1 + 0,1233) ∙^4-к, де к = 1 до 4;

FV = 14407 грн.

Отже, через 4 роки за даним ануїтетом можна буде отримати 14407 грн.

2. Визначте, за якого значення щорічних вкладів (вклад робиться в кінці року), через 5 років сума становитиме 20 000 грн, якщо процентна ставка — 21,5%.

Розв’язання: Перетворимо формулу майбутньої вартості ануїтету постнумерандо так, щоб виділити величину рівномірного надходження:

A = FV / Σ (1 + r) ^n-к, де к =1 до 5;

A = 20000 / Σ (1 + 0,215) ^5-к, де к =1 до 5;

A = 2610 грн.

Отже, якщо в кінці кожного року класти на рахунок 2610 грн, то через 5 років на рахунку накопичиться необхідна сума.

3. Скільки цілих років буде потрібно, аби накопичити на рахунку суму в 45000 грн, якщо в кінці кожного року на рахунок класти 5000 грн під 14,5% річних.

Розв’язання: Перетворити формулу так, щоб виділити термін вкладення грошей досить складно, тому простіше розв’язати задачу методом підбору.

45000 = 5000 ∙ Σ (1 + 0,145) ^n-к, де к = 1 до n;

9 = Σ (1,145) ^n-к, де к = 1 до n;

Розрахуємо для n = 5; 1,1454 + 1,1453 + 1,1452 + 1,145 + 1 = 6,68 менше 9.

Розрахуємо для n = 7; 1,1456 + 1,1455 + . + 1,145 + 1 = 12,86 більше 9.

Розрахуємо для n = 6; 1,1455 + 1,1454 + 1,1453 + 1,1452 + 1,145 + 1 = 8,63 менше 9.

Отже, через 7 років на рахунку буде накопичена шукана сума.

4. За якої процентної ставки накопичиться сума в 64000 грн, якщо в кінці кожного з 8 років на рахунок класти 7300 грн?

Розв’язання: Перетворити формулу так, щоб виділити процентну ставку досить складно, тому простіше розв’язати задачу методом підбору.

64000 = 7300 ∙ Σ (1 + r) ^8-к, де к = 1 до 8;

8,767 = Σ (1 + r) ^8-к, де к = 1 до 8;

Розрахуємо для r = 4%; 1,047 + 1,046 + . + 1,04 +1 = 9,2146.

Розрахуємо для r = 3,5%; 1,0357 + 1,0356 + . + 1,035 + 1 = 9,051.

Розрахуємо для r = 2,6%; 1,0267 + 1,0266 + . + 1,026 + 1 = 8,767.

Тобто, за процентної ставки 2,6% на рахунку через 8 років накопичиться сума, вказана в умовах завдання.