Задачі на розрахунок приведеної вартості

1. Який необхідно зробити вклад, аби через 10 років отримати 12500 грн за процентної ставки 11,7%?

Розв’язання:

Розрахуємо дисконтовану вартість: PV = 12500 / (1 + 0,117)10 = 4134 грн.

Отже, за даних умов сума вкладу дорівнює 4134 грн.

2. Через скільки років на рахунку в банку буде сума в 5600 грн, якщо вклали 3400 грн. Коефіцієнт дисконтування становить 15,65% річних?

Розв’язання:

Перетворимо формулу приведеної вартості так, щоб виділити термін вкладення грошей:

(1 + r) ⁿ = PV / FV;

1,1565ⁿ = 5600 / 3400 = 1,6471;

n = log 1,1565 1,6471 = 3,43 років.

Тобто, через 3,43 року на рахунку в банку буде необхідна сума.

3. Розрахуйте, за якої облікової ставки очікуване надходження в 5000 дол. відповідає поточному значенню 2000 дол., якщо час дисконтування 6 років.

Розв’язання:

Перетворимо формулу приведеної вартості так, щоб виділити облікову ставку:

r = (PV / FV)^1/n - 1;

r = (5000 / 2000)^1/6 - 1;

r = 0,16499 або 16,499%.

Отже, за облікової ставки 16,499% майбутня вартість відповідатиме вихідній сумі.

4. Яку суму потрібно покласти на рахунок в банк, аби через 4 роки мати 2000 дол., якщо ставка дорівнює 9% річних.

Розв’язання:

Розрахуємо приведену вартість 2000 дол. за ставки 9% і терміну 4 роки: PV = 2000 / (1 + 0,09)⁴ = 1416 дол.

Отже, вихідна сума, необхідна для вкладу, дорівнює 1416 дол.

Задачі для самостійної роботи

1. Первісна сума боргу Р грн. Строк позички Т років. Ставка процентів i %. Проценти капіталізуються 4 рази на рік. Визначити нарощену величину боргу.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	3	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4
i	%	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Р	грн	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	750	800

2. Визначити очікувану величину компенсації, якщо передбачається видати позичку в розмірі Р грн на строк Т років за ставки i % річних, а передбачуваний темп інфляції  %.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	3	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4
i	%	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	%	3	5	9	13	15	11	10	13	15	16	20	21	12	14	18
Р	грн	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	750	800

3. Зобов’язання S грн повинно бути погашене через T років, облікова ставка d %. Нарахування дисконту щоквартальне. Знайти розмір дисконту.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	3	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4
d	%	12	13	16	18	14	12	10	8	7	9	12	11	10	15	12
S	грн	50	100	300	550	660	450	600	850	670	850	400	350	700	990	850

4. Кредит розміром P тис. грн надано на строк T років і Т1 днів. Визначити суму боргу на кінець строку, якщо обумовлена в контракті ставка дорівнює i % і передбачено змішаний метод нарахування процентів.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	3	5	4	2	4	6	7	4	2	3	6	4	5	3	4
Т1	дні	160	264	300	289	315	155	144	297	88	269	176	145	199	260	168
i	%	6,5	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Р	тис. грн	30	35	40	63	23	78	54	25	64	55	26	88	69	70	75

5. Позичка видана в розмірі Р грн під і % річних. Сторони домовились, що через деякий час боржник поверне кредитору суму в розмірі S грн. Визначити, через який строк він повинен повернути свій борг.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
S	грн	150	270	315	390	480	500	670	520	687	780	884	783	982	881	925
i	%	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Р	грн	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	750	800

6. Визначити, яку величину повинна складати номінальна ставка процентів, якщо сума позички має подвоїтися за Т років, а проценти нараховуються за кожні півроку.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	3	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4

7. Визначити реальну суму процентів, якщо первісна сума боргу дорівнює Р грн, строк Т років, процентна ставка і %, а темп інфляції  % на рік.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	4	5	6	4	6	3	6	7	8	4	3	7	6	4	5
i	%	3	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	%	2	5	9	13	15	11	10	13	15	16	20	21	12	14	18
Р	грн	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550	600	650	700	750	800

8. Зобов’язання, що дорівнює S грн, повинне бути погашене через T років, облікова ставка — d %, нарахування поквартальне. Знайти сучасну величину зобов’язання, розмір дисконту, ефективну облікову ставку.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	5	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4
d	%	5	13	16	18	14	12	10	8	7	9	12	11	10	15	12
S	грн	1000	100	300	550	660	450	600	850	670	850	400	350	700	990	850

9. Первісна сума боргу Р грн. Строк позички T роки. Проценти капіталізуються щомісяця. Номінальна ставка процентів — j. Визначити відсоток та еквівалентну номінальній ефективну ставку процентів.

Показ-ник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	3	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4
j	%	0,08	0,06	0,12	0,16	0,07	0,06	0,05	0,04	0,09	0,10	0,15	0,06	0,16	0,08	0,09
P	грн	1000	100	300	550	660	450	600	850	670	850	400	350	700	990	850

10. Позичка в P грн надана на строк T років за номінальною ставкою процентів i % річних. Проценти капіталізуються поквартально. Якщо протягом перших Т років позичка не виплачена, то номінальна ставка підвищується на i1 процентних пункти. Строк погашення — Т років. Визначити суму накопиченого боргу і відсоток.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	рр.	3	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4
i	%	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
і1	%	3	5	3	4	6	5	5	7	8	9	6	9	8	10	11
Р	грн	1000	100	300	550	660	450	600	850	670	850	400	350	700	990	850

Практичне заняття 4

еквівалентність процентних ставок

(Розраховано на 4 год)

План практичного заняття

1. Поняття еквівалентності процентних ставок.

2. Середні процентні ставки.

Необхідні теоретичні відомості

Від вибору виду процентної ставки залежить фінансовий результат кредитних угод. Різні за змістом, але однакові за величиною процентні ставки дають різні процентні суми грошей за однакових усіх інших параметрів. Якщо різнорідні процентні ставки в конкретних умовах угоди зумовлюють однаковий фінансовий результат, то в даному разі вони є еквівалентні.

Принцип еквівалентності ставок застосовують для порівняння ставок різноманітних угод, визначення ефективності фінансово-кредитних операцій, беззбиткової заміни одного виду процентних ставок іншими. Для сторін, які укладають фінансовий контракт, не має важливого значення, яка з еквівалентних ставок фігуруватиме в угоді.

Система еквівалентних ставок складається з таких елементів: 1) еквівалентність простих ставок; 2) еквівалентність простих і складних ставок; 3) еквівалентність складних ставок; 4) еквівалентність дискретних і безперервних ставок.

Виведення формул еквівалентності ставок у всіх випадках заснована на рівності взятих попарно відповідних множників нарощення.

Розглянемо умови, за яких нарощення процентів за простою ставкою процентів (і) матиме такі ж результати, що і нарахування цих грошей за простою обліковою ставкою (d) за умови зафіксованих однакових строків (n) і початкової величини (Р). Очевидно, має виконуватися умова, за якої нарощені суми для цих процентних ставок будуть однакові, тобто S₁ = S₂, де S₁ — це нарощена сума, для визначення якої використовували просту ставку процентів (i), а S₂ — це нарощена сума, у ході визначення якої використовували просту облікову ставку (d). Прирівняємо множ­ники нарощення за цими ставками (1 + in) = (1 – nd)^–1. Звідси, формула простої ставки процентів, еквівалентної простій обліковій ставці, буде така:

Формула простої облікової ставки, еквівалентної простій ставці процентів, має такий вигляд: .

Застосовуючи ці формули, можна за заданою простою став­кою процентів знайти еквівалентну просту облікову ставку, і навпаки. Так, під час операцій з векселями використовують просту облікову ставку, але вона не показує ефективність і прибутковість цієї фінансової операції. Для того щоб визначити, який отримано відносний дохід, необхідно знайти ставку процентів, як правило, використовуваної як показник прибутковості і еквівалентної простій обліковій ставці.

Прості процентні ставки використовують переважно для короткострокових фінансових операцій (n  1), тож термін (n) необхідно замінити відношенням g/K, де g — це кількість днів користування грошима, а К — кількість днів у році (база року). Тут слід враховувати, що база року (К) може мати різні значення (360, 365, 366 днів). Відповідно еквівалентність простих ставок визначатиметься за двох умов: коли бази року вважають однаковими і коли використовують різні бази року (К). Для однакових баз року застосовуються такі формули:

якщо К = 360 днів, то ; ,

якщо К = 365 днів, то ; .

Якщо бази року для ставок будуть різні, тобто база року для ставки процентів — 365, а для облікової ставки — 360 днів (це особливість банківського обліку), тоді застосовують такі формули:

; .

Формули еквівалентності простих ставок процентів та облікових ставок свідчать про те, що за однакових умов позички проста облікова ставка буде завжди менша за просту ставку процентів, якщо ці ставки еквівалентні. Причому різниця між цими ставками залежить від строку позички: чим довший строк фінансової угоди, тим різниця між простою ставкою процентів (і) та простою обліковою ставкою (d) більша, і навпаки.

Для порівняння дохідності найрізноманітніших фінансових операцій необхідно використовувати річну ставку процентів, яка показує річну дохідність будь-якої короткострокової фінансової операції (частку річного прибутку), тоді як проста облікова ставка слугує лише математичним засобом для розрахунку дисконту. Якщо це необхідно зробити в операціях обліку, обчислюють еквівалентну річну просту ставку процентів.

Розглянемо формули еквівалентності для простих і складних ставок процентів. Нарощення початкової суми (Р) за цими ставками здійснюють за формулами S_п = P(1 + i_пn) для простої ставки та S_с = P (1 + i_с)ⁿ для складної.

Якщо i_п та i_с еквівалентні, то повинна виконуватись умова S_п = S_с, а отже, рівність множників нарощення (1 + i_пn) = (1 + i_с)ⁿ.

Зв’язок між еквівалентними ставками процентів визначають за такими формулами:

Ці формули дозволяють у разі зміни виду ставки зберегти кінцеві фінансові результати, скоригувавши ставку процентів за величиною.

Якщо еквівалентна простій ставці складна ставка нараховується m разів на рік, тоді

Еквівалентність простої облікової ставки й ставки складних процентів матиме вигляд:

Нехай складні проценти нараховуються m разів на рік, тоді за рівних часових баз нарахування процентів таке:

Еквівалентність складних процентних і складної облікової ставки:

Середні процентні ставки

Якщо процентні ставки змінюються з часом, то еквівалентна їм ставка являє собою середню ставку, що приносить за певний період такий самий дохід. Цю середню ставку знаходять на основі рівності відповідних множників нарощення. Нехай за періоди n₁, n₂, ..., n_k, нараховано прості проценти за ставками i₁, i₂, ..., i_k:

де

У такому випадку отримаємо еквівалентну ставку:

Знайдена характеристика являє собою середню зважену ариф­метичну величину з вагами, що відповідають тривалості окремих інтервалів. Ставка i₀ дає такий самий дохід за час N, що й сукупність ставок, які змінюються за відповідні періоди. Аналогічно для простих облікових ставок d₁, d₂, .., d_k знаходимо їх середню d₀:

Якщо нарахування процентів виконується на основі послідовних фіксованих ставок складних процентів i₁, i₂, ..., i_k, нараховуваних в інтервалах, що дорівнюють n₁, n₂, ..., n_k одиниць часу, то

.

Отриманий вираз являє собою зважену середню геометричну без одиниці, вагами якої є тривалість періодів нарахування.