Задачі на розрахунок приведеної вартості термінового ануїтету пренумерандо

1. Розрахуйте сьогоднішню вартість термінового ануїтету пренумерандо за умови, що величина рівномірного внеску складає 2200 грн на рік, процентна ставка 11,9% і термін 4 роки.

Розв’язання: PV = (1 + 0,119) ∙ Σ 2200 / (1 + 0,119)^к, де к = 1 до 4;

PV = 7575 грн.

Сьогоднішня вартість даного ануїтету складає 7575 грн.

2. Визначте, яке значення щорічного вкладу (вклад робиться на початку року) відповідатиме поточній вартості ануїтету в 12300 грн, якщо термін вкладу 6 років за процентної ставки 19,2%.

Розв’язання: Перетворимо формулу поточної вартості ануїтету пренумерандо так, щоб виділити величину рівномірного надходження:

A = PV /((1+r) ∙ Σ (1 + r) ^к), де к =1 до 6;

A = 12300 / ((1 + 0,192) ∙ Σ (1 + 0,192) ^к, де к =1 до 6;

A = 3042 грн.

Якщо на початку кожного року класти на рахунок 3042 грн протягом 6 років, то сьогоднішня вартість ануїтету відповідатиме умовам завдання.

3. Скільки часу буде потрібно аби поточна вартість ануїтету відповідала сумі в 36000 грн, якщо на початку кожного року на рахунок кладеться 5900 грн під 13,7% річних?

Розв’язання: Перетворити формулу так, щоб виділити термін вкладення грошей досить складно, тому простіше розв’язати задачу методом підбору.

36000 = 5900 ∙ (1 + 0,137) ∙ Σ (1 / (1 + 0,137)^к), де к = 1 до n;

5,367 = Σ (1 / (1,137)^к), де к = 1 до n;

Розрахуємо для n = 7; 1/1,137 + 1/1,1372 + 1/1,1373 + . +1/1,1377 = 4,328 менше 5,367.

Розрахуємо для n = 12; 1/1,137 + 1/1,1372 + 1/1,1373 + . + 1/1,13712 = 5,735 більше 5,367.

Розрахуємо для n = 11; 1/1,137 + 1/1,1372 + 1/1,1373 + . + 1/1,13711 = 5,521 більше 5,367.

Розрахуємо для n = 10; 1/1,137 + 1/1,1372 + 1/1,1373 + . + 1/1,13710 = 5,278 менше 5,367.

Термін дії ануїтету має бути 11 років, аби поточна вартість відповідала вищезазначеним умовам.

4. За якої процентної ставки поточна вартість ануїтету дорівнюватиме 28000 грн, якщо на початку кожного з 6 років на рахунок кладеться 6600 грн?

Розв’язання: Застосуємо метод підбору.

28000 = 6600 ∙ (1 + r) ∙ Σ (1/(1 + r) ^к), де к = 1 до 6;

4,24 = (1 + r) ∙ Σ (1/(1 + r) ^к), де к = 1 до 6;

Розрахуємо для r = 12%; (1+0,12) ∙ (1/1,12 + 1/1,122 + 1/1,123 + . +1/1,126) = 4,605 більше 4,24.

Розрахуємо для r = 17%; (1+0,17) ∙ (1/1,17 + 1/1,172 + 1/1,173 + . + 1/1,176) = 4,199 менше 4,24.

Розрахуємо для r = 16,42%; (1+0,1642) ∙ (1/1,1642 + 1/1,16422 + 1/1,16423 + . + 1/1,16426) = 4,24 рівне 4,24.

Отже, за процентної ставки 16,42% поточна вартість ануїтету відповідатиме вказаній в умовах завдання.

Завдання для самостійної роботи Тести й запитання для самостійного опрацювання

1. Що ви розумієте під таким визначенням: множину розподілених у часі платежів називають:

а) фінансовою рентою;

б) ануїтетом;

в) потоком платежів;

г) усі відповіді правильні?

2. Яка з наведених формул є формулою нарощеної суми ренти:

а) б)

в) г)

3. Що ви розумієте під визначенням: сума всіх членів послідовності платежів з нарахованими на них процентами на кінець його строку:

а) капіталізована величина ренти;

б) нарощена сума ренти;

в) сучасна величина ренти;

г) приведена величина ренти.

4. Яке з викладених нижче висловлювань неправильне:

а) член ренти — величина кожного окремого платежу;

б) процентна ставка — ставка, яку використовують під час нарощування або дисконтування платежів, з яких складається рента;

в) період ренти — час, вимірюваний від початку фінансової ренти до кінця останнього її періоду;

г) потік платежів — це множина розподілених у часі платежів.

5. Яка з викладених нижче формул є сучасною величиною ренти:

а) б)

в) г)

6. Під рентою розуміють:

а) множину розподілених у часі платежів;

б) потік платежів, усі члени якого позитивні величини, а часові інтервали між двома послідовними платежами — постійні;

в) потік платежів, усі члени якого позитивні величини незалежно від походження цих платежів, їх призначення і цілей;

г) множину розподілених у часі як позитивних, так і негативних платежів.

7. Що таке фінансова рента?

8. Якими параметрами описують фінансову ренту?

9. Що таке нарощена сума ренти?

10. Дайте визначення сучасної величини ренти.

Задачі для самостійної роботи

1. У кінці кожного кварталу на рахунок до банку перераховують суму грошей. Річна сума внесків 100 грош. од. і на ці кошти нараховуються 8 % річних. Знайти нарощену суму ренти через 10 років за умови, що проценти на кошти на рахунку нараховуються щоквартально.

2. Необхідно визначити суму, яка потрібна для того, щоб можна було виплачувати кредиторові кожні півроку 50 грош. од. протягом 2 років, якщо на ваш рахунок у банку проценти нараховуються щомісячно за річною ставкою 12 %.

3. Необхідно знайти нарощену суму ренти за умови, що проценти нараховують кожні півроку. Строк ренти 10 років. Виплата платежів один раз на кінець року по 100 грош. од. Ставка, за якою нараховуються проценти на платежі, дорівнює 10 %.

4. Строк ренти 2 роки. Річна сума ренти становить 100 грош. од. Нарахування процентів щомісячне за ставкою 12 % річних. Знайти сучасну величину ренти.

5. Рента виплачується 2 рази на рік. Річна сума ренти — 100 грош. од. Рента виплачуватиметься протягом двох років. Нарахування процентів щомісячно за ставкою 12 %. Визначити нарощену суму ренти.

6. Визначити величину рівних внесків, якщо необхідно до кінця десятирічного періоду створити фонд, що дорівнюватиме 100 000 грош. од. Ставка процентів — 10 %.

7. Строк ренти 10 років. Виплата платежів — один раз в кінці року по 100 грош. од. Ставка, за якою нараховуються проценти по платежах, — 10 %. Визначити накопичену суму ренти.

8. Строк ренти 5 років. Нарахування процентів у кінці року за ставкою 5 %. Член ренти дорівнює 100 грош. од. Знайти сучасну величину ренти.

9. Визначити величину щомісячних внесків на спеціальний рахунок у банку для погашення поточної заборгованості в розмірі 100 000 грош. од. Її необхідно погасити протягом двох років. Ставка процентів — 12 %. Проценти нараховуються щомісячно.

10. Визначити величину рівних внесків, якщо необхідно до кінця десятирічного періоду створити фонд, що дорівнюватиме S тис. грн. Ставка процентів — i %. Розрахунок провести різними методами.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n	рр.	3	4	5	6	7	8	9	2	6	5	7	3	6	2	4
i	%	12	13	16	15	14	12	10	8	7	9	12	11	10	15	12
S	тис.грн	50	100	300	550	660	450	600	850	670	850	400	350	700	990	850

11. Здано ділянку в оренду на 10 років. Орендна плата буде здійснюватися щорічно за схемою постнумерандо (виплати наприкінці періоду) на таких умовах: перші 6 років по R1 тис. грн, решту 4 років, що залишилися, по R2 тис. грн. Потрібно оцінити приведену вартість цього договору, якщо процентна ставка, використовувана аналітиком, дорівнює i %.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
R1	тис. грн	10	11	12	25	30	35	40	10	15	20	25	30	35	40	10
R2	тис. грн	11	13	13	26	28	37	43	12	17	21	20	31	36	43	13
i	%	12	12	11	10	9	8	10	8	10	12	11	12	13	14	12

12. Яку суму необхідно помістити в банк, щоб мати можливість протягом наступних n років щорічно знімати з рахунку R тис. грн, вичерпавши рахунок повністю до кінця строку? Розв’язати задачу для таких варіантів нарахування процентів:

а) наприкінці року за ставкою і %;

б) наприкінці кварталу за тієї ж річної ставки.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n	рр.	10	11	12	13	14	15	9	10	12	13	14	15	8	9	11
i	%	5	8	10	11	10	11	9	8	10	12	10	12	13	14	8
R	тис. грн	25	15	20	25	30	35	40	10	15	20	25	30	35	40	10

13. Іваненко повинен виплатити Петрову S тис. грн. Він пропонує замінити цю разову виплату щорічними платежами на початку кожного року по R тис. грн кожний. Скільки років повинен буде чекати Петров повного погашення боргу з боку Іванова, якщо на борг нараховуються проценти за ставкою i % річних?

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
R	тис.грн	2	5	10	10	22	8	2	5	10	10	22	8	2	5	10
i	%	8	14	16	15	14	12	8	14	16	15	14	12	8	14	16
S	тис.грн	10	10	30	50	66	45	10	10	30	50	66	45	10	10	30

14. Два платежі S1 і S2 зі строками N1 і N2 днів, що нараховуються від однієї бази, заміняються одним зі строком N3 днів. Сторони погодилися на заміну за умови використання ставки, рівної і % річних. Знайти величину консолідованого платежу.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
S1	тис. грн	100	110	120	250	300	120	250	300	100	110	120	100	110	120	100
S2	тис. грн	50	130	80	200	250	80	200	250	50	130	80	50	130	80	50
N1	дні	150	170	90	100	110	150	170	90	100	110	150	170	90	100	110
N2	дні	180	190	130	120	135	180	190	130	120	135	180	190	130	120	135
N3	дні	200	220	150	140	165	200	220	150	140	165	200	220	150	140	165
i	%	6	7	8	9	10	11	12	6	7	8	9	10	11	12	6

15. Знайти річну суму ренти строком в n3 років для двох річних рент: одна — тривалістю n1 років з річним платежем R1, інша – n2 і R2 відповідно. Річна ставка і %.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n1	рр.	5	4	5	5	4	5	5	4	5	5	4	5	5	4	5
n2	рр.	8	3	6	8	3	6	8	3	6	8	3	6	8	3	6
n3	рр.	10	8	8	10	8	8	10	8	8	10	8	8	10	8	8
R1	грн	1000	1200	900	1000	1100	1000	1200	1000	1000	1100	1000	1200	900	1000	1100
R2	грн	800	700	850	760	800	800	700	850	760	800	800	700	850	760	800
i	%	8	12	11	10	9	8	10	8	10	12	11	12	13	14	12

16. Замінити річну десятилітню ренту з річним платежем R1 євро на ренту з піврічним платежем по R2 євро. Річна ставка – і %, проценти нараховуються наприкінці періодів ренти.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
R1	євро	1000	2000	1600	1000	3000	1000	2000	1600	1000	3000	1000	2000	1600	1000	30
R2	євро	600	800	900	500	1200	600	800	900	500	1200	600	800	900	500	28
i	%	10	12	11	10	9	8	10	8	10	12	11	12	13	14	12

17. Власник малого підприємства передбачає створення протягом 3 років фонду розвитку розміром S тис. грн. Він розглядає дві можливості створення цього фонду за допомогою банківського депозиту з нарахуванням за складною ставкою в i % річних:

а) щорічними, рівними платежами;

б) разовим вкладенням на 3 роки.

Знайти розміри сум, розміщених у банку за кожним варіантом.

Показник	Од. вим.	Номер варіанта
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
S	тис. грн	150	120	130	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250
i	%	20	12	13	16	15	14	12	10	8	7	9	12	11	10	15

Практичне заняття 7

планування погашення довгострокової заборгованості

(Розраховано на 4 год)

План практичного заняття

1. Основні поняття для визначення планів погашення довгострокових позичок.

2. Погашення позики одноразовими платежами.

3. Погашення позичок методом рівних сум погашення основного боргу.

4. Погашення позичок методом рівних термінових виплат.

5. Погашення основного боргу методом змінних термінових виплат.

Необхідні теоретичні відомості

У процесі аналізу фінансових ринків часто виникає завдання з розробки планів погашення кредитів і позичок. Воно полягає у визначені періодичних виплат за кредитом або, як їх іноді називають, термінових виплат, сум для обслуговування боргу.

Метою статистичного аналізу довгострокової заборгованості або позичок є:

1) розробка планів погашення довгострокових позичок;

2) оцінка вартості позички на будь-який момент з урахуванням майбутніх надходжень за нею і станом грошового ринку на момент оцінювання;

3) визначення ефективності фінансової операції для кредитора.

Методи погашення позичок залежать від їх виду. За методом погашення боргу всі позички можна поділити на три види.

1. Позички без обов’язкового погашення. Боржник зобов’язу­ється виплачувати кредиторові в призначені строки прибуток у вигляді зафіксованого процента. Позичена сума не повертається.

2. Позички з обов’язковим погашенням в один строк. Боржник повертає позичену суму в обумовлений строк і виплачує періодично або в кінці строку проценти.

3. Позички з обов’язковим погашенням у кілька строків. Борж­ник повертає позикодавцеві суму частинами і регулярно виплачує дохід від позички у вигляді процента.

Завдання розробки плану погашення позички полягає у визначенні розміру поточного внеску та його складників залежно від конкретних умов позички.

Витрати, пов’язані з погашенням позички, називаються обслуговуванням боргу. Разову суму обслуговування боргу називають терміновою (поточною) виплатою. Термінові виплати охоплюють як поточні процентні платежі, так і кошти, спрямовувані на погашення (амортизацію) основного боргу. Методи визначення розміру поточних виплат залежать від умов позички. Ці умови передбачають строк, тривалість пільгового періоду, рівень процентної ставки, метод погашення виплат процентів та основної суми боргу. Щоб вивести формулу для розрахунку термінових виплат, уведемо такі позначення: D — сума заборгованості; І — проценти за позичкою; L — тривалість пільгового періоду; R — річні витрати щодо погашення основного боргу; γ— термінова (поточна) виплата.

У періоді, коли виплачується основна сума боргу, термінова виплата складається з двох елементів: .

У пільговому періоді вона складається тільки з суми виплачуваних процентів (якщо це передбачено умовами):

.

Погашення позички одноразовими платежами

Якщо боржник повинен повернути в кінці строку борг у вигляді разової виплати, то йому необхідно створити фонд погашення, який складатиметься з послідовних внесків на спеціальний рахунок. Сума внесків і процентів повинна дорівнювати сумі боргу на час його виплати. Коли за умовами позички передбачається періодично виплачувати проценти кредиторові, витрати боржника складатимуться з виплат у фонд погашення і процентів.

Фонд погашення формується з послідовних внесків, наприклад на спеціальний рахунок у банку, на який нараховуються проценти. Метою створення фонду погашення є здійснення майбутніх постійних термінових (поточних) виплат. Нехай накопичення коштів здійснюється шляхом регулярних щорічних внесків, на які нараховуються складні проценти за ставкою і. Одночасно відбувається виплата процентів, які нараховуються на борг за ставкою q. У такому разі термінова виплата становитиме:

, або ,

де D — сума боргу, яку необхідно погасити через n років; n — строк позички (число років); q — ставка процентів, згідно з якою кредитору виплачується регулярний дохід з позички; R — виплата, що погашується, періодично вноситься в банк чи інше фінансове підприємство для створення фонду погашення.

Під час створення фонду погашення фігурують дві ставки процентів — і i q. Перша визначає швидкість росту суми фонду погашення, друга — суму виплачуваних за позичкою процентів. Зрозуміло, що створення фонду погашення вигідне боржникові за умови, коли і > q, оскільки проценти на рахунку в банку нараховуються швидше, ніж за кредитом.

Якщо проценти не виплачуються кредиторові, а приєднуються до боргу, то термінова виплата складається з одного елемента, який визначають за формулою:

.

У практиці фінансових розрахунків погашення боргу здійснюють частинами, при цьому можуть бути застосовані такі методи:

1) спосіб рівних сум погашення основного боргу;

2) погашення рівними терміновими виплатами.

3) погашення змінними терміновими виплатами.

Погашення позичок методом рівних сум погашення основного боргу

У разі погашення основного боргу рівними сумами розрахунок термінової виплати визначають за формулою:

,

де _{t —} термінова виплата за період часу t; D_t — залишок боргу на початок періоду t;

t = 1, 2, ..., n;

D₁ — початкова сума боргу;

R — сума, яка щорічно спрямовується на погашення кредиту.

Погашення позичок методом рівних термінових виплат

Зі змісту другого способу погашення боргу частинами випливає, що

,

де a_n;q — коефіцієнт приведення постійної річної ренти зі ставкою q.

Термінова виплата складається з двох частин. У випадку погашення боргу частинами загальна сума заборгованості з прискоренням знижується, отже, зменшується і сума нарахованих на позичку процентів, а сума погашення боргу збільшується. Тому в плані погашення заборгованості необхідно визначати на кожний рік разом з величиною термінової виплати її складові елементи.

Проценти за кредитом у кінці першого року становитимуть Dq, а розмір погашення боргу — R₁ =  – Dq.

Погашення основного боргу методом змінних термінових виплат

На практиці не завжди дотримуються умови, коли  — const, тобто погашення боргу може залежати від низки обставин. Якщо розмір термінової виплати задано заздалегідь як ₁, ₂, ..., _n–1, а величина _n визначається як сума боргу на початок останнього періоду, то розрахунок плану погашення довгострокової заборгованості необхідно здійснювати для кожного періоду окремо.