Аналіз змінних потоків платежів

Змінна ренти — це рента, члени якої змінюються відповідно до якогось закону розвитку.

Нерегулярний потік платежів — це потік платежів, члени якого змінюються хаотично. Часові інтервали між двома сусідніми платежами можуть бути будь-якими. У такому разі узагальнюючі характеристики отримають лише шляхом прямого розрахунку.

Нарощена сума:

.

Сучасна величина:

,

де t — час від початку потоку платежів до моменту виплати, R_t — сума платежу (член ренти).

Змінна рента з разовими змінами членів ренти

Загальна тривалість ренти дорівнює n. Цей строк розподілено на k періодів, у кожному член ренти постійний і дорівнює R_t.

Нарощена величина:

.

Сучасна величина:

.

Ренти з постійним абсолютним приростом платежів

Якщо а — абсолютний приріст платежів, тобто a = R_t – R_{t – 1}, то сучасну величину ренти визначають за такою формулою:

.

Нарощена сума ренти визначається таким чином:

.

Приклади розв’язання задач до теми

Задачі на розрахунок приведеної вартості термінового

ануїтету постнумерандо

1. Розрахуйте сьогоднішню вартість термінового ануїтету постнумерандо за умови, що величина рівномірного вкладу складає 1100 грн на рік, процентна ставка 5,6% і термін 6 років.

Розв’язання: PV = Σ 1100 / (1 + 0,056)^к, де к = 1 до 6;

PV = 5477 грн.

Отже, сьогоднішня вартість даного ануїтету складає 5447 грн.

2. Визначте, яке значення щорічного вкладу (вклад робиться в кінці року) відповідатиме поточній вартості ануїтету в 41000 грн, якщо термін вкладу 5 років за процентної ставки 13,75%.

Розв’язання: Перетворимо формулу поточної вартості ануїтету постнумерандо так, щоб виділити величину рівномірного надходження:

A = PV / Σ (1 + r) ^к, де к =1 до 5;

A = 41000 / Σ (1 + 0,1375) ^к, де к =1 до 5;

A = 11871 грн.

Тобто, якщо в кінці кожного року класти на рахунок 11871 грн протягом 5 років, то сьогоднішня вартість ануїтету відповідатиме умовам завдання.

3. Скільки часу буде потрібно, аби поточна вартість ануїтету відповідала сумі 42000 грн, якщо в кінці кожного року на рахунок класти 5200 грн під 8,8% річних?

Розв’язання: Застосуємо метод підбору.

42000 = 5200 ∙ Σ (1 / (1 + 0,088)^к), де к = 1 до n;

8,077 = Σ (1 / (1,088)^к), де к = 1 до n;

Розрахуємо для n = 10; 1/1,088 + 1/1,0882 + 1/1,0883 + 1/1,0884 + . +1/1,08810 = 6,47 менше 8,077.

Розрахуємо для n = 16; 1/1,088 + 1/1,0882 + 1/1,0883 + . + 1/1,08816 = 8,41 більше 8,077.

Розрахуємо для n = 15; 1/1,088 + 1/1,0882 + 1/1,0883 + 1/1,0884 + . + 1/1,08815 = 8,16 більше 8,077.

Тобто, термін дії ануїтету має бути 15 років, аби поточна вартість відповідала вищепереліченим умовам.

4. За якої процентної ставки, поточна вартість ануїтету дорівнюватиме 17000 грн, якщо в кінці кожного з 9 років на рахунок класти 2300 грн?

Розв’язання: Вирішимо завдання методом підбору.

17000 = 2300 ∙ Σ (1/(1 + r) ^к), де к = 1 до 9;

7,391 = Σ (1/(1 + r) ^к), де к = 1 до 9;

Розрахуємо для r = 4%; 1/1,04 + 1/1,042 + 1/1,043 + 1/1,044 + . +1/1,049 = 7,435 більше 7,391.

Розрахуємо для r = 4,2%; 1/1,042 + 1/1,0422 + 1/1,0423 + . + 1/1,0429 = 7,368 менше 7,391.

Розрахуємо для r = 4,13%; 1/1,0413 + 1/1,04132 + 1/1,04133 + 1/1,04134 + . + 1/1,04139 = 7,391 дорівнює 7,391.

Отже, за процентної ставки 4,13% поточна вартість ануїтету відповідатиме вказаній в умовах завдання.